Programma di
Analisi
Matematica III
Corso di Laurea
in Matematica
Autunno
2015
Teoria
della misura e dell'integrale di Lebesgue
Misura
di aperti e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.
Insiemi
misurabili secondo Lebesgue e loro misura.
Proprietà
fondamentali degli insiemi misurabili (unione numerabile,
intersezione e differenza).
Additività
numerabile della misura di Lebesgue.
Successioni
di insiemi misurabili.
Esempi: insieme misurabile
secondo Lebesgue ma non misurabile secondo Peano-Jordan;
insieme di Cantor
e funzione
di Cantor; insieme aperto di misura piccola e con frontiera di
misura infinita; insieme di Vitali
(cioè non misurabile secondo Lebesgue).
Funzioni
misurabili e loro proprietà.
Funzioni
semicontinue.
Funzioni
semplici.
Approssimazione
di funzioni misurabili con funzioni semplici.
Integrale di Lebesgue di una
funzione misurabile non negativa e sue proprietà elementari.
Principio di Cavalieri
e funzione di distribuzione.
Teorema
di Beppo Levi sulla convergenza monotona.
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Additività
numerabile dell'integrale di funzioni non negative.
Integrale
di Lebesgue di funzioni sommabili e sue proprietà.
Assoluta
continuità dell'integrale di Lebesgue.
Teorema
di Lebesgue della convergenza dominata.
Confronto tra integrale di
Riemann
ed integrale di Lebesgue.
I teoremi di Fubini
e Tonelli.
Teoria
della misura astratta: analogie e differenze con la misura di
Lebesgue; altri esempi di misure. La misura di Hausdorff.
Alcuni
risultati sulle funzioni convesse
Funzioni
convesse e concave e loro proprietà rispetto a limite ed ordine.
Monotonia
del rapporto incrementale di una funzione convessa.
Derivate
di funzioni convesse.
Retta
di supporto.
Disuguaglianza
di Jensen.
Media aritmetica e media geometrica. Disuguaglianza di Young.
Spazi
Lp
Disuguaglianza di Holder.
Disuguaglianza di Minkowski.
Estremo
superiore essenziale e spazio L-infinito.
Lp
è uno spazio lineare
normato.
Lp
è completo.
Definizioni
di spazio di Banach e di Hilbert.
Disuguaglianza
di Hanner. Disuguaglianza di Clarkson e uniforme convessità.
Differenziabilità
della norma.
Proiezione
su insiemi chiusi e convessi.
Funzionali
lineari e continui su Lp
e convergenza debole.
I
funzionali lineari separano.
Semicontinuità
inferiore della norma.
Il duale di Lp:
teorema di rappresentazione di Riesz.
Convoluzioni.
Disuguaglianza di Young con q=1 e p=r.
Approssimazione
mediante funzioni semplici e funzioni C-infinito a supporto
compatto.
Supporto
di una funzione misurabile.
Separabilità
di Lp.
Le
successioni limitate sono debolmente compatte.
Convoluzioni
di funzioni in spazi duali sono continue.
Peculiarità
degli spazi L1
e L-infinito.
Il
teorema di Ascoli-Arzelà.
Enunciato
del teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov.
Confronti
tra convergenze
Teorema
di Egorov-Severini.
Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme.
Teorema
di Lusin. Funzioni misurabili e funzioni quasi continue.
Convergenza
in misura.
Confronti
tra convergenza in misura, quasi ovunque, forte in Lp e debole in
Lp su insiemi di misura finita.
Elementi
sulla teoria delle funzioni olomorfe
Funzioni
olomorfe di una variabile complessa. Conformalità.
Equazioni
di Cauchy-Riemann.
Funzioni
esponenziale, seno, coseno, logaritmo e potenza.
Teorema
di Cauchy-Goursat. Teorema di Morera.
Formula
integrale di Cauchy.
Funzioni
analitiche e funzioni olomorfe.
Zeri
di funzioni olomorfe.
Funzioni
meromorfe. Singolarità e poli.
Serie
di Laurent. Residui.
Teorema
dei residui e principio dell'argomento.
Calcolo
di integrali impropri con il teorema dei residui.
Teoremi
del massimo e minimo modulo.
Teorema
dell'applicazione aperta.
Lemma
di Schwarz.
Testi di
consultazione
Fusco-Marcellini-Sbordone,
Analisi Matematica II, Liguori editore, Napoli.
Lieb-Loss,
Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI,
USA.
Rudin,
Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Brezis,
Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Giusti, Analisi Matematica 2,
Boringhieri, Torino.
DiBenedetto,
Real Analysis, Birkhauser, Boston, MA, USA.
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Materiale
didattico scaricabile
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