Obbiettivi
del corso:
Fornire le nozioni matematiche di base con cenni di insiemistica, algebra lineare (risoluzione dei sistemi lineari parametrici, elementi di calcolo vettoriale) ed una certa conoscenza della geometria analitica del piano e dello spazio. Gli argomenti trattati aiutano gli studenti nella comprensione e nello studio dei corsi con contenuti scientifici previsti nel relativo piano di studi e forniscono una visione spaziale più ampia e precisa, traducibile in forma algebrica.
Argomenti del corso:
1 - MATRICI e SISTEMI LINEARI
Tipo e ordine di una matrice; matrice nulla, matrice
identità; matrice triangolare (superiore e inferiore), matrice
diagonale; matrice trasposta. Traccia di una matrice quadrata.
Operazioni fra matrici: somma, moltiplicazione per un numero
reale, prodotto (righe per colonne) di due matrici e proprietà
relative.
Determinante di una matrice quadrata e relative
proprietà.
Minori di una matrice, caratteristica e rango di
una matrice. Riduzione a scala di una matrice.
Inversa di una
matrice quadrata: definizione, metodo di calcolo.
Sistemi
lineari: definizione, descrizione nella forma matriciale AX=B,
insieme delle soluzioni. Teorema di Rouché-Capelli.
Risoluzione dei sistemi lineari con i metodi di sostituzione, di
riduzione di Gauss e con la regola di Cramer (anche per sistemi non
quadrati).
Discussione e soluzione di sistemi lineari
parametrici.
2 – VETTORI
Vettore matematico e vettore geometrico associato. Vettori
paralleli, vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Operazioni
sui vettori: somma, prodotto per un numero reale, prodotto scalare e
relative proprietà.
Definizione di spazio vettoriale sui
reali. Dimensione e basi di uno spazio vettoriale.
Norma di un
vettore e sue proprietà.
Significato geometrico del
prodotto scalare di due vettori nel piano o nello spazio.
Prodotto
vettoriale e doppio prodotto misto in R³:
definizioni, significato geometrico, calcolo e relative
proprietà.
Angolo fra due vettori.
3 -
GEOMETRIA ANALITICA
Sistemi di riferimento cartesiano nel piano R² e nello
spazio R³.
Equazioni parametriche e cartesiane di una
retta nel piano e nello spazio; vettore direttore
associato.
Equazione cartesiana di un piano nello spazio e vettore
normale associato.
Condizioni di parallelismo e ortogonalità
fra due rette, fra due piani, fra un piano ed una retta.
Equazione
di un fascio di rette per un punto nel piano e di una stella di piani
per un punto nello spazio. Equazione del fascio di piani avente per
asse una retta assegnata.
Posizione reciproca di due rette, due
piani, una retta ed un piano; condizioni analitiche.
Angolo fra
due direzioni, fra due rette incidenti, fra una retta ed un
piano.
Distanza fra due punti, fra un punto ed una retta o un
piano, fra due rette o fra due piani, fra un piano ed una retta.
4 – CURVE
Coniche: circonferenza,ellisse, iperbole, parabola; definizione, equazioni e proprietà. Centro e fuochi. Retta tangente ad una circonferenza. Le coniche in forma generale: matrice associata e classificazione. Polarità associata ad una conica non degenere. Retta tangente ad una conica non degenere. [Facoltativo: Cenni sulle quadriche.]
5 – TRASFORMAZIONI NEL PIANO
Trasformazioni nel piano: traslazioni, simmetrie, rotazioni, omotetie, affinità. Vedi note al link http://web.math.unifi.it/users/raffy/vis/Trasformazioni.html