ISTITUZIONI di MATEMATICA II
a.a. 2002-2003
Raffaella Paoletti
Geometria analitica nel piano: traslazioni, rotazioni degli assi
cartesiani.
Coniche: definizione, equazioni e proprieta' di circonferenza, ellisse,
parabola, iperbole.
Coniche come luogo di zeri di un polinomio di secondo grado. Riduzione di
una conica a forma canonica con il metodo degli autovalori. Centro, assi
e retta tangente ad una conica generica.
Classificazione delle coniche con gli invarianti. Studio di una famiglia
di coniche dipendente da parametri.
Quadriche: equazioni delle quadriche in forma canonica.
Integrali in una variabile: integrali indefiniti; metodi di integrazione
per parti e per sostituzione; integrazione di funzioni irrazionali elementari
e delle funzioni razionali. Alcune sostituzioni speciali [x=sent; x=tg(t/2)].
Integrali definiti: definizione e significato geometrico. Integrabilita'
delle funzioni monotone e continue. Teorema della media e Teorema fondamentale
del calcolo integrale (con dimostrazione).
Funzioni iperboliche e loro inverse; applicazioni al calcolo degli integrali.
Integrali impropri: definizione, calcolo diretto, criteri del confronto e
del confronto asintotico.
Coordinate polari nel piano: definizione; trasformazione di equazioni
cartesiane in polari e viceversa. Descrizione di insiemi piani in coordinate
polari.
Numeri complessi: definizione, forma algebrica e trigonometrica. Operazioni
fondamentali, radici n-esime.
Topologia in R^2: intorni; insiemi aperti\ chiusi, limitati \illimitati;
frontiera di sottoinsiemi.
Funzioni in 2 variabili: domini, curve di livello; limiti e continuita'.
Derivate parziali, direzionali e differenziabilita'. Significato geometrico
del gradiente e del differenziale. Teorema del differenziale totale. Derivate
di ordine superiore e Teorema di Scwartz. Derivata delle funzioni composte.
Massimi e minimi relativi, punti di sella. Matrice Hessiana. Massimi e minimi
per funzioni ristrette a domini con frontiera parametrizzabile.
Teorema del Dini (della funzione implicita); dimostrazione della formula
della derivata.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (con dimostrazione).
Funzioni di 3 variabili: derivate, teorema della funzione implicita
(con 1 o 2 equazioni), massimi e minimi vincolati.
Equazione della retta tangente ad una curva definita implicitamente; equazione
del piano tangente ad una superficie definita implicitamente. Formula di
Taylor per funzioni in due variabili.
Integrali doppi: definizione e significato geometrico. Domini normali
rispetto ad uno degli assi coordinati. Teorema di Fubini e sue applicazioni.
Matrice Jacobiana di una trasformazione e cambiamento di variabili in un
integrale doppio.
Applicazioni alla fisica: assegnata la distribuzione di massa di una lamina,
calcolo della massa totale, del centro di massa, del momento di inerzia rispetto
ad un asse.
Calcolo di volumi di solidi limitati dal grafico di due funzioni.
Integrali tripli: calcolo di integrali tripli elementari.
Curve, superfici e integrali: definizione e proprieta' principali
di una curva; lunghezza di una curva. Integrale di una funzione lungo una
curva: definizione, significato geometrico e calcolo. Calcolo di aree con
integrali curvilinei. Applicazioni alla fisica. Area di superfici di rotazione.
Volume di solidi di rotazione.
Definizione di superficie regolare; piano tangente e vettore normale. Calcolo
dell'area di una sup. regolare.
Forme differenziali lineari e campi vettoriali: definizioni e proprieta'.
Integrale di una forma lineare lungo una curva; lavoro di un campo lungo
una curva. Forme chiuse, esatte: condizioni necessarie e sufficienti e ricerca
di una primitiva. Campi conservativi e ricerca del potenziale. Teorema
di Green e sue applicazioni.
Equazioni differenziali: definizioni e proprieta'. Problema di Cauchy;
Teorema di esistenza e unicita' della soluzione.
Equazioni lineari: struttura dello spazio delle soluzioni.
Equazioni del primo ordine a variabili separabili, di Bernoulli e ai differenziali
esatti.
Equazioni lineari a coefficienti costanti.