Introduzione alle varietá algebriche

Un punto di vista costruttivo

Note di Giorgio Ottaviani

• Indice

• Guida al contenuto dei capitoli

• Breve nota storica

• Uso del software

• Percorsi didattici

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Indice

APPENDICE

Guida al contenuto dei capitoli

Le note si compongono di 101 pagine e 20 capitoli.

• I primi 4 capitoli forniscono le basi computazionali per lavorare nell'anello dei polinomi in piú variabili. Si parte dal problema di appartenenza di un polinomio ad un ideale. Nonostante un ideale sia completamente definito dai suoi generatori, non è facile stabilire se un polinomio dato appartiene o meno all'ideale. In una variabile la risposta al problema è data dall'algoritmo di divisione, mentre la sua estensione in piú variabili fallisce in questo compito. Questo esempio che mette a confronto quello che si credeva di conoscere (l'ideale) con quello che si riesce a calcolare, è particolarmente suggestivo ed è una solida motivazione per addentrarsi nello studio delle basi di Gröbner. Questo problema mette anche a nudo l'approccio teorico nei confronti dell'approccio costruttivo. L'appartenenza di un elemento ad un ideale equivale essenzialmente alla verifica se un dato vincolo è superfluo (cioè contenuto nei precedenti). L'algoritmo di Buchberger viene esposto nei dettagli e permette di risolvere il problema di appartenenza appena esposto ed anche il successivo problema dell'eliminazione di una variabile da un insieme di polinomi. L'eliminazione è un soggetto che ricorre spesso nella pratica di qualunque studente, e la sua sistemazione costituisce usualmente una piacevole sorpresa.

• I capitoli 5,6,7 costituiscono il primo legame con il linguaggio della geometria, e stabiliscono la corrispondenza tra ideali e varietá, anche se in questi capitoli il teorema degli zeri di Hilbert viene assunto senza dimostrazione, che seguirà nel cap. 9.

• I capitoli 8, 9 introducono il risultante, con cui si dimostra il teorema di estensione (talvolta chiamato teorema fondamentale della teoria dell'eliminazione nel caso affine) ed il teorema degli zeri di Hilbert.

• Il capitolo 10 introduce le varietá razionali (anche queste costituiscono spesso una sorpresa, nel sogno del “migliore dei mondi possibili” tutte le varietá sono razionali, in realtá la non razionalitá apre prospettive del tutto nuove di grande interesse). I capitoli 11,12,13,14 introducono i morfismi tra le varietá algebriche e le varietá proiettive, che sono costruite “omogeneizzando” le varietá affini. Le curve piane vengono svolte sommariamente approfondendo soltanto i concetti di punto singolare ed i flessi. Viene provata una forma debole del teorema di Bezout. Viene definito lo scoppiamento dello spazio proiettivo in un punto e la trasformata propria di una sottovarietá.

• I capitoli 15,16 sono a livello piú avanzato. Viene enunciato e dimostrato il teorema fondamentale della teoria dell'eliminazione, la cui eleganza rivaluta immediatamente l'introduzione ingenua data dello spazio proiettivo nei capitoli precedenti. Non c'è piú bisogno delle ipotesi un pó artificiose del caso affine. Ne segue la nozione di completezza che sostituisce la compattezza in ambito algebrico. Viene provata una versione costruttiva del teorema fondamentale. Il capitolo 16 tratta del teorema di Chevalley. In particolare nel caso della caratteristica zero si prova che un'applicazione razionale biunivoca ha inversa razionale, fatto apparentemente ovvio, la cui falsitá in caratteristica positiva ne mostra l'interesse.

• I capitoli 17,18 affrontano il concetto di dimensione di una varietá algebrica che é definito come il grado del polinomio di Hilbert, prima nel caso affine e poi nel caso proiettivo. Si presenta un algoritmo per il calcolo della dimensione e si dimostra che la dimensione é uguale al grado di trascendenza del campo delle funzioni razionali sulla varietá.

• I capitoli 19,20 trattano delle sizigie e si concludono con la semplice dimostrazione del teorema delle sizigie di Hilbert dovuta a Schreyer (1980).

Breve nota storica

I celebri tre teoremi di Hilbert :

• teorema della base (Basissatz)

• teorema degli zeri (Nullstellensatz)

• teorema delle sizigie

sono tutti dimostrati nel lavoro su Mathematische Annalen del 1890, che è uno dei punti di svolta nella storia della matematica. Le dimostrazioni di questi tre teoremi prentate nelle note sono tutte posteriori al 1970 e seguono un punto di vista costruttivo. E' interessante notare che nelle idee di Hilbert i tre teoremi precedenti erano tre “lemmi” che servivano per la dimostrazione della finitezza degli invarianti, problema che all'epoca era considerato fondamentale e che è tornato al centro della matematica contemporanea solo dopo i lavori di Mumford [Geometric invariant theory, Springer].

L'algoritmo di Buchberger è stato pubblicato nella tesi di dottorato di Buchberger nel 1965, seguita dal relatore Gröbner. Le idee matematiche sulla forma normale di un polinomio rispetto ad un ideale (resto della divisione, fissato un ordine monomiale) appaiono piu' o meno contemporaneamente nei lavori di Hironaka (risoluzione delle singolaritá) e Grauert.

L'uso dell'algoritmo di Buchberger si è sviluppato rapidamente ed ha oggi applicazioni alla statistica, alla robotica ed in campo industriale. Per approfondimenti è consigliato il testo D. Cox, J. Little, D.O'Shea, “Using algebraic Geometry”, Springer.

Uso del software

Per apprendere gli algoritmi che fanno uso delle basi di Gröbner è estremamente utile avere a disposizione un computer per eseguire esercizi e verifiche. Le note (scritte nel 1995) prevedevano l'utilizzo del sistema di calcolo simbolico CoCoA , che è un programma libero. Purtroppo le versioni piú recenti di CoCoA hanno una sintassi diversa da quella delle prime versioni che é stata utilizzata in queste note. Il lettore puo' implementare gli argomenti in un sistema di calcolo di sua scelta (CoCoA, Macaulay2, Singular,...). Sono stati tolti la maggior parte degli esercizi che si riferivano a CoCoA. L'appendice di introduzione a CoCoA presente nelle note é ormai datata, e rimane per motivi affettivi e come memoria storica. Questo puó far riflettere su come in pochi anni le competenze su un particolare software vadano completamente aggiornate, mentre le conoscenze teoriche mantengono la loro validitá. Il lettore interessato ad altri sistemi di calcolo simbolico per l'algebra commutativa e la geometria algebrica computazionale puó consultare la pagina corrispondente nel sito di EAGER.

Percorsi didattici

Queste note sono state utilizzate a livelli diversi nei corsi di Matematiche Complementari, Geometria Superiore, Istituzioni di Geometria Superiore per il Corso di Laurea in Matematica, in corsi di dottorato di Geometria Algebrica Computazionale, infine per il corso di Geometria Computazionale per il Corso di Laurea in Informatica. Sono graditi suggerimenti dai lettori.

Qui si suggeriscono alcuni percorsi giá sperimentati:

• per studenti del terzo-quarto anno di Matematica che non riprenderanno l'argomento (35 ore +10 ore di esercitazioni al computer), questo percorso è sufficiente per lasciare un buona conoscenza degli argomenti, e competenze utili per applicazioni successive da parte degli studenti piú motivati.

Capp. 1-6,7(facoltativo), 8-10,17-18 (solo la parte affine)

• per studenti del terzo-quarto anno di Matematica che riprenderanno l'argomento (38 ore +12 ore di esercitazioni al computer), ci puó essere lo spazio per approfondire ulteriormente le curve piane oppure i sistemi in due variabili.

Capp. 1-13

• secondo modulo per studenti del terzo-quarto anno di Matematica (30 ore+10 ore di esercitazioni al computer), ci puó essere lo spazio per approfondire alcuni invarianti delle varietá algebriche.

Capp. 14-15, 17-20

• per studenti di dottorato o per studenti del terzo-quarto anno di Matematica con interessi di ricerca (30-40 ore con un pó di buonsenso e saltando le dimostrazioni piú standard, le esercitazioni al computer sono facoltative ma caldamente raccomandate)

Capp. 1-4 (dando per scontato il Basissatz). 5-8 richiamati od assegnati come lettura, si potrá eventualmente fare un cenno alla liaison per il cap. 7. Capp.9- 11. Cap. 12 solo per arrivare ai teoremi 12.12 e 12.14 (facoltativo). Capp. 14-20.