Appunti per il corso di Geometria II

Nuovo ordinamento, primo anno

Giorgio Ottaviani

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1. Sottospazi affini. Proiezioni ortogonali. Isometrie

2. Convessi. Geometria metrica del piano

3. Orientazione. Il prodotto vettoriale e la geometria metrica dello spazio

4. Le coniche e la loro classificazione metrica. Invarianti metrici. L'eccentricità .

5. Le similitudini

6. Geometria affine del piano e dello spazio.

7. Forme quadratiche e teorema di Sylvester

8. Classificazione affine delle coniche. Invarianti affini. Cenni sulle quadriche.

9. Lo spazio proiettivo e le proiettività

10. Le trasformazioni geometriche viste nel piano di Gauss . Inversione circolare. Cenni di geometria non euclidea.

1. Sottospazi affini. Isometrie

Lo spazio euclideo (ed una sua generalizzazione, lo spazio affine, che vedremo più avanti) è lo spazio dove concepiamo la geometria, nel senso classico del termine (geometria = misura del terreno). I suoi elementi sono i punti. Viene formalizzato nella matematica moderna in modo assai diverso rispetto al metodo costruttivo euclideo, noto dalla scuola superiore. La prima differenza è che le applicazioni moderne hanno reso necessario lavorare in dimensione qualunque, mentre Euclide si limitava a dimensione 1, 2, 3. Questa non è però la differenza più grande. Nella formalizzazione moderna, di tipo assiomatico, la teoria ‚ fondata sull'algebra lineare. Abbiamo imparato che l'algebra lineare si sviluppa in uno spazio vettoriale. Infatti ogni vettore si identifica in modo naturale con una dello spazio, che è una funzione biunivoca dello spazio in sè. Il vettore nullo corrisponde alla funzione identità. In questa corrispondenza il gruppo delle traslazioni si identifica in modo naturale con uno spazio vettoriale. La definizione assiomatica di spazio affine, che vedremo più avanti, richiede proprio questo spazio vettoriale.
Questo punto di vista risente dell'influsso di F. Klein. Nella sua prolusione tenuta ad Erlangen nel 1872 (oggi nota come programma di Erlangen), Klein vede la geometria come lo studio delle proprietà dello spazio che sono invarianti per certi gruppi di trasformazioni. Le traslazioni sono il più semplice gruppo di trasformazioni. I gruppi più sono significativi sono quelli elle isometrie, delle similitudini ( o omotetie), delle affinità e degli omeomorfismi, che danno luogo rispettivamente alla geometria metrica, omotetica, affine ed alla topologia.
Questa breve introduzione vorrebbe rassicurare il lettore sulla possibilità di visualizzare la geometria. Infatti, nonostante le profonde differenze nella formalizzazione, si lavora oggi con gli spazi euclidei con un metodo molto simile a quello euclideo. A questo proposito ci piace ricordare la celebre espressione di Pascal "esprit de gèomètrie", tuttora attuale.
Quando abbiamo introdotto l'algebra lineare abbiamo usato come modello standard lo spazio vettoriale Rⁿ. Questo è lo stesso modello che usiamo come spazio euclideo (od affine). Preferiamo però denotarlo in modo diverso cioè chiameremo Aⁿ l'insieme delle n-ple di numeri reali ed i suoi elementi li chiameremo punti. A prima vista chiamere con due nomi diversi lo stesso oggetto può sembrare paradossale. Speriamo che questo uso abitui il lettore a lavorare con spazi euclidei più generali, di cui Aⁿ è solo un esempio. Per comprendere le ragioni di questa differenza invitiamo a riflettere sul seguente esempio: la traslazione nel piano associata al vettore v di coordinate (1,2) è una cosa diversa dal punto P di coordinate (1,2). La traslazione associa al punto (x,y) il nuovo punto (x+1, y+2). Se prendo un nuovo sistema di riferimento con x'=x+1, y'=y+1 allora le coordinate di P diventano (2,3) ma la traslazione precedente continua ad associare ad (x',y') sempre il punto (x'+1, y'+2). Quindi vettori e punti cambiano coordinate in modo diverso e vanno considerati in spazi diversi. I vettori appartengono a Rⁿ , i punti appartengono a Aⁿ.

Sia Aⁿ lo spazio euclideo a n dimensioni costituito dalle n-ple di numeri reali. Un punto P in Aⁿ può quindi essere identificato con la n-pla delle sue coordinate (x₁, ..., x_n). Questo fatto è peculiare dello spazio Aⁿ, in spazi euclidei più generali dovremo introdurre un sistema di riferimento prima di parlare di coordinate. Anche in Aⁿ impareremo più avanti a cambiare sistema di coordinate. Dati due punti P, Q in Aⁿ c'è una unica traslazione che porta P in Q. Questa traslazione può essere identificata con un vettore di Rⁿ con primo estremo in P e secondo estremo in Q, che identificheremo con la scrittura (Q-P). Questa scrittura è particolarmente felice perchè se P=(x₁, ..., x_n) e Q=(y₁, ..., y_n) allora le coordinate di Q-P sono (y₁-x₁, ...,y_n-x_n).
Precisamente possiamo dare la seguente
Definizione Per ogni v ∈ Rⁿ è definita la traslazione t_v : A ⁿ → A ⁿ dalla formula t_v(P)=P+v .

Quando non è importante specificare il vettore v, indicheremo le traslazioni semplicemente con t.
Osserviamo che v= t_v(P)-P non dipende da P. Si verifica facilmente che t_v· t_w= t_v+w. In questo caso la composizione tra funzioni è commutativa. t_v è biunivoca con inversa t_-v.
La distanza tra P e Q è la lunghezza di (Q-P). In formule d(P,Q):=|Q-P|

In coordinate il quadrato della distanza tra P=(x₁,...,x_n) e Q=(y₁,...,y_n) è dato da

La retta per P e Q è parametrizzata dall'espressione (1-t)P+tQ con t ∈ R . Notiamo che per t=0 l'espressione precedente fornisce il punto P, mentre per t=1 fornisce il punto Q. Il segmento tra P e Q è parametrizzato dall'espressione (1-t)P+tQ con 0≤ t ≤ 1.
Teorema di Carnot In un triangolo con vertici A, B, C con a angolo in A vale

|C-B|² =|C-A|² +|B-A|²-2|C-A| |B-A| cos a

Dimostrazione |C-B|²=[(C-A)-(B-A)] . [(C-A)-(B-A)]=|C-A|² +|B-A|²-2(C-A). (B-A) e la tesi segue dal teorema 1.2 della prima parte.
Corollario (teorema di Pitagora) Un triangolo con lati lunghi a, b, c (con c lato maggiore) è rettangolo se e solo se

a²+b²= c²

Definizione Un sottoinsieme S di Aⁿ si dice un sottospazio affine se per ogni P, Q ∈ S e per ogni t ∈ R vale (1-t)P+tQ ∈ S

La definizione di sottospazio affine può essere riformulata nel modo seguente: un sottoinsieme di Aⁿ è un sottospazio affine se contiene la retta passante per due suoi punti qualunque.
Osserviamo che in particolare l'insieme vuoto è un sottospazio affine, convenzionalmente si pone la sua dimensione uguale a -1.
L'espressione (1-t)P+tQ si dice una combinazione affine dei punti P e Q. Notiamo che può essere scritta nella forma equivalente a₁ P+a₁ Q con a₁+ a₂=1. Analogamente ∑ _i=1 ^ka_iP_i con ∑ a_k =1 si dice una combinazione affine dei punti P₀, ..., P_k.
Proposizione Siano P₀, ..., P_k punti di un sottospazio affine S di Aⁿ . Allora per ogni a₀, ..., a_k ∈ R tali che ∑ a_k =1 vale ∑ a_i P_i ∈ S.
Dimostrazione Per induzione su k. Per k=1 l'enunciato è vero dalla definizione. Sia vero l'enunciato per k e dimostriamolo per k+1. Possiamo supporre
a= ∑ _i=1 ^k+1a_i ¹ 0, eventualmente riordinando i punti. Per ipotesi induttiva
Q= ∑ _i=1 ^k+1(a_i/a)P_i ∈ S . Allora ∑ _i=0 ^k+1a_iP_i= a₀P₀+(1-a₀) ∑ _i=1 ^k+1(a_i/a)P_i = a₀P₀ +(1-a₀)Q ∈ S.

Sia W un sottospazio vettoriale di Rⁿ. Per ogni P in Aⁿ denotiamo P+W={P+w|w ∈ W} . Notiamo che P ∈ P+W.
Proposizione (caratterizzazione dei sottospazi affini e definizione di direzione)

• P+W è un sottospazio affine.

• Viceversa per ogni sottospazio affine non vuoto S di A ⁿ esiste un unico sottospazio vettoriale W di Rⁿ (che si dice la direzione di S) tale che S=P+W per un qualunque P ∈ S

Dimostrazione Siano P+w ₁ , P+w ₂ due punti di P+W. Allora (1-t)( P+w ₁)+t(P+w ₂)=P+[(1-t)w ₁ +tw ₂] che appartiene a P+W. Viceversa sia P ∈ S e poniamo W:={s-P | s∈S}. Occorre provare che W è un sottospazio vettoriale e che non dipende da P. Infatti se s₁-P, s₂-P sono vettori di W abbiamo a₁(s₁-P)+a₂(s₂-P)= a₁s₁+a₂s₂+ (1-a₁-a₂)P-P che appartiene ancora a W perché per la proposizione a₁s₁+a₂s₂+ (1-a₁-a₂)P ∈ S.
Se W era definito da Q al posto di P allora s-Q=(s+P-Q)-P Per la proposizione s+P-Q appartiene a S e quindi s-Q appartiene a W. Questo prova che S-Q∈S-P. Analogamente si ottiene S-P∈S-Q.
Se S=P+W allora si pone dim S=dim W. In particolare i punti sono sottospazi affini di dimensione 0. Sottospazi affini di dimensione 1, 2, n-1 si dicono rispettivamente rette, piani, iperpiani. Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati. Punti che appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari .
Definizione I punti P₀,...,P_k in Aⁿ, con k ³ 1 si dicono indipendenti se i vettori P₁ - P₀, P₂ - P₀, ...., P_k - P₀ sono linearmente indipendenti.
Esercizio Dimostrare che la definizione di indipendenza non dipende dall'ordine in cui sono scelti i punti.
Proposizione Dati P₀,...,P_k in Aⁿ punti indipendenti esiste un unico sottospazio affine S di dimensione k che contiene i punti dati P_i.
Dimostrazione Sia W lo spazio vettoriale generato da P₁ - P₀, P₂ - P₀, ...., P_k - P₀ . Basta prendere S:=P₀ +W. Se ci fosse un altro sottospazio P₀ +W' che contiene i punti dati, con dim W'=dim W allora W' dovrebbe contenere P₁ - P₀, P₂ - P₀, ...., P_k - P₀ e quindi W' coincide con W.
Osserviamo che la proposizione precedente per k=1 afferma che per due punti distinti passa una e una sola retta. Questo è il primo postulato di Euclide.

Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi

Sia S un sottospazio affine incluso in Aⁿ di dimensione k con direzione W. Sia B la matrice nxk le cui colonne formano una base di W. Notiamo che B ha rango k. Allora x=Bt con y ∈ Rⁿ e t ∈ R ^k (entrambi scritti in colonna) rappresentano equazioni parametriche di W. Al variare del parametro t si ottengono i punti x di W. Sia c un qualunque punto di S allora dalla proposizione precedente segue che

x=Bt+c

rappresentano equazioni parametriche di S. Al variare del parametro t si ottengono i punti x di S.

W ha anche equazioni cartesiane della forma Ax=0 con A matrice (n-k)xn con rango A=n-k (per il teorema fondamentale dell'algebra lineare basta prendere per righe di B una base di W^{^}). Se c è un qualunque punto di S allora posto b=Ac sempre dalla proposizione precedente segue che

Ax=b

rappresentano equazioni cartesiane di S.
In generale ogni equazione parametrica della forma x=Bt+c con B matrice nxk di rango k definisce un sottospazio affine di dimensione k, mentre ogni sistema lineare Ax=b con A matrice mxn di rango m definisce un sottospazio affine di dimensione n-m, di cui il sistema dà equazioni cartesiane. Notiamo il fatto notevole che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è sempre un sottospazio affine. La direzione di un sottospazio corrisponde all'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato .

Parallelismo e perpendicolarità

Definizione Due sottospazi affini S e T inclusi in Aⁿ di direzioni rispettivamente W e Z , con dim W ≤ dim Z si dicono paralleli se W ∈ Z . La relazione di parallelismo tra spazi della stessa dimensione è una relazione di equivalenza.
Definizione Due sottospazi affini S e T inclusi in Aⁿ di direzioni rispettivamente W e Z , si dicono perpendicolari (od ortogonali) se vale uno dei casi seguenti

1. se dim W +dim Z ≤ n e W ∈ Z^{^} .

2. se dim W +dim Z ³ n e W ^{^} ∈ Z .

Osserviamo che se dim W +dim Z =n allora i due casi coincidono. Questo è il caso di due rette nel piano oppure di una retta ed un piano nello spazio. Due rette nello spazio rientrano nel primo caso, mentre due piani nello spazio rientrano nel secondo caso.
Proposizione ("Postulato delle parallele").
Dato un sottospazio affine S ed un punto P, esiste unico un sottospazio affine T della stessa dimensione di S, parallelo a S e passante per P.
Dimostrazione Se S=Q+W allora ponendo T=P+W si ottiene un sottospazio parallelo a S e passante per P. L'unicità di T segue dall'unicità della direzione (proposizione precedente).

Un caso importante si ha con gli iperpiani. Sia a₁x₁+...a_nx_n=b l'equazione cartesiana di un iperpiano, che si scrive in forma vettoriale come a. x=b. Allora l'iperpiano parallelo passante per P ha equazione a. (x-P)=0. L'interpretazione geometrica dell'ultima equazione è la seguente: x appartiene all'iperpiano se e solo se il vettore
x-P è ortogonale ad a. Quindi a individua la direzione ortogonale all'iperpiano. Tutti gli iperpiani di equazione ax=b al variare di b hanno tutti come direzione lo spazio ortogonale allo spazio generato da a e sono quindi paralleli. Si dice che formano un fascio di iperpiani paralleli.

Proposizione Due rette complanari r, s tagliate da una trasversale t sono parallele se e solo se formano angoli corrispondenti uguali.
Dimostrazione L'enunciato segue dal fatto che gli angoli tra due rette sono uguali agli angoli tra le loro direzioni. Quindi rette parallele formano angoli corrispondenti uguali quando vengono tagliate da una trasversale. Viceversa siano r,s che formano angoli corrispondenti uguali quando vengono tagliate da t. Consideriamo la parallela s' ad s passante per l'intersezione tra r e t. s' viene a coincidere con r. Segue che r e s sono parallele.
Corollario Due rette complanari r, s tagliate da una trasversale t sono parallele se e solo se formano angoli alterni interni uguali.
Dimostrazione Angoli opposti al vertice sono uguali.

Proposizione (Esistenza ed unicità del sottospazio perpendicolare).
Dato un sottospazio affine S di dimensione k incluso in Aⁿ ed un punto P, esiste unico un sottospazio affine T di dimensione n-k, perpendicolare a S e passante per P.
Dimostrazione Sia W la direzione di S. Basta porre T=P+W^{^}. L'unicità segue dall'unicità della direzione.

Un caso importante si ha per gli iperpiani, di equazione cartesiana a₁x₁+...a_nx_n=b, che si scrive in forma vettoriale come ax=b. Allora a genera la direzione ortogonale all'iperpiano. a viene detto un vettore normale all'iperpiano. L'iperpiano perpendicolare alla retta r parametrizzata da y=ax+c e passante per P ha equazione a(x-P)=0.

Proposizione P, Q, R sono allineati se e solo se R-Q e Q-P sono linearmente dipendenti.
DimostrazionePossiamo supporre P, Q distinti, altrimenti l'enunciato è immediato. Se R appartiene alla retta per P e Q allora esiste t tale che R=(1-t)P+tQ. Quindi R-Q=(1-t)P+tQ-Q=(1-t)(P-Q), da cui R-Q e Q-P sono dipendenti. Il viceversa si dimostra allo stesso modo ed è lasciato al lettore.
Esercizio Provare che tre punti P, Q, R in Aⁿ sono allineati se solo se esistono x, y, z ∈ R tali che xP+yQ+zR=0, x+y+z=0

Interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare
Dati P, Q, R punti di Aⁿ vale |Q-P| ≤ |Q-R|+|R-P| e vale l'= se e solo se P, Q, R sono allineati con Q compreso tra P e R.
DimostrazioneSiccome |Q-P|=|(Q-R)+(R-P)| la disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare. Vale l'= se e solo se (Q-R) e (R-P) hanno la stessa direzione e verso. Questo equivale alla tesi.

Proiezioni ortogonali

Sia r ∈ Aⁿ una retta (i.e. un sottospazio affine di dimensione 1). La proiezione ortogonale di P su r è definita dall'intersezione tra r e l'iperpiano perpendicolare a r passante per P. La seguente proposizione spiega come calcolare la proiezione ortogonale e fornisce la sua proprietà principale, cioè quella di minimizzare la distanza.

Teorema Sia P un punto di Aⁿ .

1. La retta r e l'iperpiano perpendicolare a r passante per P si incontrano in un unico punto, che chiameremo p_r(P). Se r ha equazione parametrica y=at+c, allora

   	pr(P)=a	a·(P-c) |a|2	+c

	|P-pr(P)| ≤ |P-Q|   ∀Q ∈ r

Dimostrazione L'iperpiano ha equazione cartesiana a·(x-P)=0. Sostituendo l'equazione della retta si ha a·(at+c-P)=0, da cui t|a|²=a·(P-c). Si ricava un unico valore di t, che risostituito nell'equazione della retta fornisce l'espressione richiesta. Per provare la disuguaglianza osserviamo che il triangolo di vertici P, Q, p_r(P) è rettangolo in p_r(P) e quindi la disuguaglianza esprime il fatto che la lunghezza dell'ipotenusa è maggiore di quella di un cateto (ovvia conseguenza del teorema di Pitagora).

Il teorema precedente definisce la funzione p_r : Aⁿ → r che si dice la proiezione ortogonale su r. Questa funzione è l'identità quando viene ristretta a r, in altri termini vale p_r²=p_r. Questa è una proprietá caratteristica delle proiezioni ed in Algebra prende il nome di idempotenza.

Esempio. Calcoliamo la proiezione ortogonale di P=(2,-1,5) sulla retta r per P₀=(0,0,1) con vettore direttore a=(2,6,4).

Abbiamo che ([(P-P₀)·a]a)/|a|²=[ 14/56](2,6,4)=(¹/₄, ³/₂, 1) e quindi p_r(P) = (¹/₄, ³/₂, 2).

Esercizio. Calcolare le proiezioni ortogonali di P=(x,y,z) sui tre assi coordinati.

Il teorema precedente ha una importante generalizzazione a sottospazi qualunque. Premettiamo un lemma di algebra lineare.

Lemma Sia A una matrice nxk di rango k. Allora ^tAA è invertibile.

Dimostrazione (facoltativa) Consideriamo il sistema quadrato ^tAAx=0 Moltiplicando a sinistra per ^tx si ottiene |Ax|²=0 da cui Ax=0 e per l'ipotesi x=0. Quindi ^tAA è invertibile.

Teorema. Proiezione su un sottospazio affine con equazioni parametriche. Sia S ∈ Aⁿ un sottospazio affine di dimensione k con equazione parametrica y=Bt+c. Sia P un punto di Aⁿ .

1. Il sottospazio S e il sottospazio perpendicolare a S passante per P si incontrano in un unico punto, che chiameremo p_S(P). Le coordinate di p_S(P) sono

   	pS(P) =B(tBB)-1[tB(P-c)]+c

	|P-pS(P)| ≤ |P-Q|   ∀Q ∈ S

Dimostrazione (facoltativa) Per il teorema fondamentale dell'algebra lineare il sottospazio perpendicolare a S passante per P ha equazione cartesiana ^tB(x-P)=0. Sostituendo l'equazione di S si ha ^tB(Bt+c-P)=0, da cui ^tBBt=^tB(P-c). Questo è un sistema lineare quadrato nell'incognita t ∈ R^k. Per il lemma si ricava un unico valore di t, che risostituito nell'equazione di S fornisce l'espressione richiesta. Per provare la disuguaglianza osserviamo ancora che il triangolo di vertici P, Q, p_S(P) è rettangolo in p_S(P).

Teorema. Proiezione ortogonale su un sottospazio affine di cui si conosce una base ortonormale della direzione. Sia S ∈ Aⁿ un sottospazio affine di direzione W generata da w₁,...,w_k base ortonormale. Allora per ogni punto P di Aⁿ vale

p_S(P) =∑_i=1^k [(P-c). w_i] w_i +c

(si confronti con i coefficienti di Fourier).
Dimostrazione (facoltativa) S ha equazione parametrica y=Bt+c dove le colonne di B sono i w_i. Quindi ^tBB=I. Pertanto dal teorema precedente

p_S(P)=B^tB(P-c)+c

da cui la tesi.

Corollario (Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale di cui si conosce una base ortonormale ).
Sia S ∈ Aⁿ un sottospazio vettoriale generato da w₁,...,w_k base ortonormale. Allora per ogni punto P di Aⁿ vale

p_S(P) =∑_i=1 ^k (P . w_i) w_i

Dimostrazione (facoltativa) Basta porre c=0 nel teorema precedente.

I due teoremi precedenti si possono esprimere in forma duale partendo da equazioni cartesiane invece che parametriche. Consideriamo subito il caso particolare più importante, cioè quello della proiezione su un iperpiano.

Teorema Sia P un punto di Aⁿ e S un iperpiano di equazione ax=b. Allora

Dimostrazione La retta perpendicolare a S passante per P ha equazione parametrica y=a·t+P. Sostituendo a(a·t+P)=b si ricava t|a|²=(b-a·P). Risostituendo nell'equazione della retta si ha la tesi.

Teorema. Proiezione ortogonale su un sottospazio con equazioni cartesiane. Sia S ∈ Aⁿ un sottospazio affine con equazione cartesiana Ax=b. Sia P un punto di Aⁿ . Vale

Dimostrazione (facoltativa) Per il teorema fondamentale dell'algebra lineare il sottospazio perpendicolare a S passante per P ha equazione parametrica y=^tAt+P. Sostituendo nell'equazione di S si ha A(^tAt+P)=b, da cui A^tAt=b-AP. Si ricava un unico valore di t, che risostituito nell'equazione del sottospazio perpendicolare a S fornisce l'espressione richiesta.

Abbiamo visto che la distanza minima di un punto P da un sottospazio si ottiene considerando la distanza di P dalla sua proiezione ortogonale. Questo motiva la seguente

Definizione. Sia B ∈ Aⁿ un sottospazio di uno spazio euclideo, e sia P ∈ Aⁿ. La distanza di P da B è per definizione |P-p_B(P)|.

Nel caso di una retta r nel piano di equazione cartesiana ax+by=c la distanza di r da P₀=(x₀,y₀) è data da

Dimostrazione Una retta nel piano è un iperpiano. Basta quindi applicare la formula

Nel caso di un piano p nello spazio di equazione cartesiana ax+by+cz=d la distanza di p da P₀=(x₀,y₀,z₀) è data da

Dimostrazione È analoga alla dimostrazione precedente.

Un'applicazione: il metodo dei minimi quadrati.

Due rette si dicono ortogonali se sono ortogonali i loro vettori direttori. Una retta è ortogonale ad un piano se il suo vettore direttore è ortogonale alla direzione del piano. In particolare una retta con vettore direttore (l,m,n) è ortogonale al piano ax+by+cz=d se

L'angolo tra due piani è l'angolo tra i loro vettori normali. In particolare i piani ax+by+cz=d e a'x+b'y+c'z=d' sono ortogonali se e solo se

Esercizi. 

1. Calcolare la distanza di P=(3,4) dalla retta 2x-y=5.

2. Calcolare la distanza di P=(3,4) dalla retta parallela a x+y=0 passante per Q=(0,3).

3. Scrivere la retta ortogonale al piano x-y+5z=6 passante per (3,-1,√3).

4. Scrivere il piano ortogonale ai due piani 2x-y=0 e x-y+5z=1 passante per l'origine.

5. Scrivere il piano contenente la retta

   		⎧ ⎨ ⎩	2x-y+5z=7 3x+4y=6

   ed ortogonale al piano y=0.

6. Esiste un piano contenente la retta

   		⎧ ⎨ ⎩	2x-y+5z=7 3x+4y=6

   ed ortogonale all'asse delle ascisse?

7. Calcolare la distanza di P=(2,-1,3) dal piano x+y+z+1=0.

8. Provare che se un piano è ortogonale ad una r retta è ortogonale anche ad ogni piano che contiene r.

9. Calcolare la distanza di P=(2,-1,3) dal piano passante per (0,9,8) ed ortogonale alla retta di equazioni

   		⎧ ⎨ ⎪ ⎩	x=1+2t y=-1-t z=5t

10. Una retta forma angoli uguali con i tre assi coordinati. Qual è il valore di quest'angolo?

11. Calcolare la proiezione ortogonale del punto (1,1,1) sul piano 3x-5y=0 e sulla retta x=1+t, y=2+3t, z=3+4t.

12. Calcolare la proiezione ortogonale della retta {

    	x-y+z=3
    	y+4z=11

    
    
    
    
    sul piano z=0

13. Se p_B è la proiezione ortogonale su un sottospazio B la simmetria rispetto a B è 2p_B-1_Aⁿ. Calcolare il simmetrico di P=(2,1,5) ∈ A³ rispetto al piano x-y+2z=9.

Isometrie

L'importanza delle combinazioni affini è illustrata dal seguente teorema (si veda anche l'esercizio seguente).
Teorema (Invarianza delle combinazioni affini per traslazioni)
Sia t una traslazione. Allora t [(1-t)P+tQ]= (1-t)t(P) +tt (Q).
Dimostrazione Abbiamo t(R)=R+v per qualche vettore v. Allora t [(1-t)P+tQ]= [(1-t)P+tQ]+v=[(1-t)P+tQ]+[(1-t)+t]v= (1-t)(P+v)+t(Q+v)= (1-t) t (P) +tt (Q).
Esercizio (Invarianza delle combinazioni affini per traslazioni, bis)
Sia t_v una traslazione. Provare che se S a_k =1 allora vale t_v ( ∑ a_i P_i)= ∑ a_i t_v(P_i)

Ricordiamo che f: Aⁿ →Aⁿ si dice una isometria se conserva le distanze, cioè se d(P,Q)=d(f(P),f(Q)). La composizione di due isometrie è ancora una isometria. L'inversa di una isometria è ancora una isometria. Quindi le isometrie formano un gruppo, che si indica con Iso(Aⁿ).
Proposizione Le traslazioni sono isometrie.
Dimostrazione Per ogni coppia di punti P e Q e per ogni vettore v vale |Q-P|=|(Q+v)-(P+v)|
Proposizione Sia A una matrice n ´ n. I seguenti fatti sono equivalenti

1. A è una matrice ortogonale

2. per ogni v vettore di Rⁿ allora |Av|=|v|

3. per ogni v, w vettori di Rⁿ allora Av. Aw = v . w.
   Dimostrazione 1. Þ 2. |Av|²= ^t (Av)(Av)= ^t v ( ^t AA) v = ^t v v= |v| ²
   2. Þ 3. Av. Aw = (1/4)[A(v+w). A(v+w)- A(v-w). A(v-w) ] =
   (1/4)[(v+w). (v+w)- (v-w). (v-w) ] = v . w.
   3. Þ 1. Per ipotesi Ae_i . Ae_j = e_i . e_j = d _ij, quindi Ae_i, che sono le colonne di A, formano una base ortonormale , da cui A è ortogonale per la proposizione del primo modulo.
   
   Proposizione Sia A una matrice nxn ortogonale e sia c un punto di Aⁿ. Sia f: Aⁿ → Aⁿ definita da

   f(x)=Ax+c

   Allora f è una isometria
   Dimostrazione |r (P)-r (Q)|= |AP-AQ|= |A(P-Q)|. Per la proposizione precedente l'ultima lunghezza è uguale a |P-Q| come volevamo.
   Definizione Sia A una matrice ortogonale e P₀ un punto fissato. La formula f(P)= P₀ +A(P-P₀) definisce una isometria che fissa il punto P₀ e ha l'espressione precedente con c=P₀-AP₀
   
   Esercizio Provare che le isometrie della forma f(P)= P₀ +A(P-P₀) con centro P₀ fissato formano un gruppo (al variare di A).
   
   
   Proposizione Una isometria porta punti allineati in punti allineati.
   Dimostrazione Siano P, Q, R allineati in quest'ordine su una retta. In particolare vale che |R-P|=|R-Q|+|Q-P|. Sia f una isometria. Allora segue che
   |f(R)-f(P)|=|R-P|= |R-Q|+|Q-P|= |f(R)-f(Q)|+|f(Q)-f(P)| . Per l'interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare segue che f(P), f(Q), f(R) sono allineati in quest'ordine.
   
   Definizione Due sottoinsiemi S, T di Aⁿ si dicono congruenti se esiste una isometria f tale che f(S)=T. La relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.
   
   Proposizione (Criteri di congruenza dei triangoli) Due triangoli nel piano sono congruenti se

   1. hanno uguali le lunghezze di due lati e la misura dell'angolo compreso

   2. hanno uguali la lunghezza di un lato e le misure dei due angoli adiacenti

   3. hanno uguali le lunghezze dei tre lati

   Dimostrazione I primi due criteri seguono dal fatto che esiste sempre una isometria che porta due segmenti J, K della stessa lunghezza a coincidere e porta uno dei due semipiani individuati da J in uno qualunque dei due semipiani individuati da K. Basta comporre una opportuna traslazione con una rotazione. Il terzo criterio è più delicato. Per il teorema di Carnot due triangoli con gli stessi lati hanno anche gli stessi angoli e quindi ci si riconduce al primo criterio.
   
   Teorema (Classificazione delle isometrie)
   Sia f una isometria. Allora esistono una matrice nxn ortogonale A e un punto c di Aⁿ tali che f(x)=Ax+c.
   
   Dimostrazione Definiamo h: Rⁿ →Rⁿ dalla formula

   h(v):=f(v)-f(0)

   ed è sufficiente provare che esiste una matrice ortogonale A tale che h(v)=Av. h è una isometria perché è la composizione dell'isometria f con una traslazione. Notiamo subito che h(0)=0 e consideriamo quindi v non nullo. Siccome h è una isometria vale |h(v)|=|v| per ogni vettore v. Sia t un numero reale. Consideriamo i tre punti allineati 0, v, tv. Abbiamo d(0,v)=|v|, d(0,tv)=|t||v|, d(v, tv)=|t-1||v|. Anche i punti 0, h(v), th(v) sono allineati e le loro distanze reciproche sono d(0,h(v))=|v|, d(0,th(v))=|t||v|, d(h(v),th(v))=|t-1||v|. Per la proposizione le immagini dei tre punti allineati 0, v, tv sono ancora allineati e le loro distanze reciproche rimangono invariate. Le tre immagini sono 0, h(v), h(tv) e quindi coincidono con 0, h(v), th(v). Ne segue che h(tv)=th(v), cioè h è omogenea. Adesso consideriamo due vettori v, w indipendenti. Per la proposizione h porta il segmento di vertici v e w nel segmento di vertici h(v) e h(w). Il punto medio (v+w)/2 va tramite h nel punto medio [h(v)+h(w)]/2. Ne segue che h[(v+w)/2]=[h(v)+h(w)]/2 e quindi h è lineare. Pertanto esiste una matrice A tale che h(v)=Av. È immediato verificare che A è ortogonale.
   Il teorema precedente afferma che l'equazione di una isometria diventa f(P)=P₁+AP con A matrice ortogonale. Se le coordinate di P sono (x₁,...,x_n) e le coordinate di P₁ sono (c₁,...,c_n) allora le coordinate di f(P) sono date (in colonna) da

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   c1 : cn

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   +A

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   x1 : xn

   ⎞  ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   Quindi le equazioni dell'isometria f sono

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   x1 : xn

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   →

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   c1 : cn

   ⎞  ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   +A

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   x1 : xn

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   Questa scrittura può essere sostituita da un'altra più conveniente.

   Rappresentazione matriciale di una isometria

   È opportuno rappresentare i punti di Aⁿ come vettori a n+1 componenti della forma

   		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	x1 : xn 1		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   Abbiamo aggiunto la costante 1 all'ultimo posto. Con questo artificio le equazioni di una isometria diventano

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   x1 : xn 1

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   →

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   c1 A : cn 0 0 0 1

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   x1 : xn 1

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   con A matrice ortogonale.

   La matrice

   		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	c1 A : cn 0 0 0 1		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   è la matrice corrispondente alla isometria f. Questa scrittura è molto utile perchè la composizione tra isometrie corrisponde al prodotto tra matrici, esattamente come nel caso delle funzioni lineari tra spazi vettoriali. Precisamente se la matrice precedente corrisponde a f, e la matrice

   		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	d1 B : dn 0 0 0 1		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   corrisponde a g allora la matrice prodotto

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   c1 A : cn 0 0 0 1

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   d1 B : dn 0 0 0 1

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   =

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

   * AB : * 0 0 0 1

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   corrisponde alla composizione g · f.

   Questa scrittura permette inoltre di passare in modo naturale a trasformazioni pi⎟ generali delle isometrie, come le similitudini, le affinitá, ed infine le proiettivitá. Notiamo che se A=I si ottiene il sottogruppo delle traslazioni.
   Corollario Sia S un sottospazio affine e f una isometria. Allora f(S) è ancora un sottospazio affine.
   Precisamente se f(x)=Ax+c e S=W+P con W sottospazio di Aⁿ che è la direzione di S allora f(S)= f_A(W) +f(P) e quindi la direzione di f(S) è f_A(W).
   Corollario (Le isometrie conservano il parallelismo) Siano S,T sottospazi affini paralleli e f una isometria. Allora f(S) e f(T) sono paralleli.
   Definizione Una isometria f di equazione f(x)=Ax+c si dice diretta se detA=1, inversa se det(A)=-1.
   Per ogni funzione f: Aⁿ → Aⁿ indichiamo con Fix(f) l'insieme dei suoi punti fissi, cioè

   Fix(f):={P ∈ Aⁿ| f(P)=P }

   .
   Corollario Se f è una isometria allora Fix(f) è un sottospazio affine.
   Dimostrazione Siano f(x)=Ax+c le equazioni in coordinate dell'isometria f. P con coordinate x e' un punto fisso se e solo se Ax+c=x cioè se e solo se è soluzione del sistema lineare (A-I)x=-c
   Esercizio Sia A una matrice ortogonale di ordine n. Provare che 1 è sempre un autovalore di A nei seguenti casi:

   1. det A=1 e n dispari

   2. det A=-1 e n pari

   Suggerimento: gli autovalori di A sono gli stessi di A^-1, quindi nello spettro complesso se appare l deve apparire anche l ^-1.....
   Esercizio * Sia A una matrice ortogonale di ordine n. Provare che dim Ker (A-I) è dispari nei seguenti casi

   1. det A=1 e n dispari

   2. det A=-1 e n dpari

   mentre dim Ker (A-I) è pari nei rimanenti casi:

   3. det A=1 e n pari

   4. det A=-1 e n dispari

   Dedurre che, se f è una isometria diretta con Fix(f) non vuoto allora codim Fix(f) è pari, mentre se f è una isometria inversa con Fix(f) non vuoto allora dim Fix(f) è dispari.

   Simmetrie rispetto ad un sottospazio (facoltativo)

   Se T è un sottospazio affine allora la simmetria rispetto a S è l'isometria (vedi esercizi seguenti) definita da

   s_T (P) =-P+2 p_T(P)

   dove p_T è la proiezione ortogonale su S.
   Esercizio Provare che s_T² è l'identità e che Fix(s_T)=T.
   Esercizio Sia T con equazioni cartesiane date da Ax=b, con A matrice kxn (kœn), sia A^* l'inversa di Moore-Penrose di A.

   1. Verificare che le equazioni di s_T sono s_T(P)= (I-2A^*A) P+2 A^* b.

   2. Verificare che la matrice A^*A è simmetrica e la matrice (I-2A^*A) è ortogonale simmetrica. Questo ultimo fatto prova che s_T è una isometria.

   3. * Provare che ogni matrice ortogonale simmetrica M proviene da una simmetria, cioè esiste A come sopra tale che M= (I-2A^*A) .

      Simmetrie centrali e rispetto ad un iperpiano

   Le simmetrie più semplici da studiare sono rispetto ad un punto C (centro di simmetria) oppure rispetto ad un iperpiano T.
   Se C è un punto allora

   s_C (P) =-P+2 C

   definisce la simmetria rispetto a C.
   Proposizione

   1. s_C è una isometria

   2. s_C ² è l'identità .

   3. Fix(s_C) =C

   Dimostrazione Per il primo punto osserviamo che |s_C (P) -s_C (Q)|= |-P+2C+Q-2C|=|P-Q| Gli altri due punti sono immediati.
   
   Esercizio Provare che la simmetria centrale s_C è diretta se e solo se n è pari.
   La simmetria rispetto ad un iperpiano H è definita da

   s_H (P) =-P+2 p_H(P)

   dove p_H è la proiezione ortogonale su H. Se a.x=b è l'equazione cartesiana di H allora

   	sH (P)=P+	b-(a·P) |a|2	2a

   
   Proposizione

   1. Fix(s_H)=H

   2. s_H è una isometria inversa

   3. s_H ² è l'identità .

   
   Dimostrazione Se P è un punto fisso segue subito dall'equazione che a.P=b e quindi P appartiene ad H. Analogamente si prova che i punti di H sono punti fissi. Per provare che s_H conserva le distanze, possiamo supporre che |a|=1 (moltiplicando l'equazione cartesiana per una costante). Allora abbiamo |s_H(P)- s_H(Q)| ² = |P+2(b-a.P)a-Q-2(b-a.Q)a|² = |P-Q-2a.(P-Q)a|² = |P-Q|² -4[a.(P-Q)]² +4[a.(P-Q)]² = |P-Q|² Sia s_H(X)=Ax+c l'espressione in coordinate di s_H. Siccome H è insieme di punti fissi, la sua direzione è autospazio di A con autovalore 1 e quindi il suo ortogonale (che ha dimensione 1) è ancora un autospazio, necessariamente con autovalore -1 perché A non è l'identità. Quindi det A=-1 come prodotto degli autovalori. L'ultimo punto è immediato.
   Proposizione Sia f una isometria tale che Fix(f)=iperpiano H. Allora f è la simmetria rispetto ad H.
   Dimostrazione Per ogni punto P non appartenente ad H consideriamo la retta per P e p_H(P). Questa retta è la retta perpendicolare ad H passante per p_H(P) e quindi viene portata da f nella retta perpendicolare a f(H)=H passante per f[p_H(P)]=p_H(P) che è la retta stessa. Quindi p_H(P)-P=f(P)-P da cui f è la simmetria rispetto ad H.
   Proposizione (Composizione di due simmetrie centrali)
   La composizione tra le simmetrie centrali s_C · s_D è pari alla traslazione t_2(C-D).
   Dimostrazione s_C · s_D (P)= s_C(-P+2D)=P-2D+2C.
   
   Esercizio Costruire h : Rⁿ → Rⁿ non lineare tale che |h(v)|=|v| per ogni v in Rⁿ.

   2. Convessi. Geometria metrica del piano

   Insiemi convessi

   
   Definizione. Un sottoinsieme X dello spazio si dice convesso se dati due qualunque punti di X il segmento che li unisce è tutto contenuto in X.

   Esercizio. Provare che l'angolo convesso di vertice V=(x_v,y_v) delimitato dalle semirette passanti per P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂) (non allineati con V) è parametrizzato da

   		⎧ ⎨ ⎩	x=xv+s(x1-xv)+t(x2-xv) y=yv+s(y1-yv )+t(y2-yv)

   per s,t ∈ R , s¹ 0, t¹ 0.

   
   Lemma. L'intersezione di una famiglia di insiemi convessi {X_i}_{i ∈ I} è un insieme convesso.

   Dimostrazione  Se P₁, P₂ ∈ ∩_{i ∈ I}X_i allora per ogni i ∈ I abbiamo P₁, P₂ ∈ X_i e quindi per l'ipotesi il segmento che unisce P₁ a P₂ è contenuto in X_i. Segue che tale segmento è contenuto in ∩_{i ∈ I}X_i.

   
   Definizione. Siano P_i per i=1,…,n punti distinti dello spazio. L'intersezione tra gli insiemi convessi che contengono tutti i P_i si dice l'inviluppo convesso di {P₁,…,P_n} e si indica con Conv(P₁,…,P_n).

   Per il lemma precedente Conv(P₁,…,P_n) è un insieme convesso, ed è il più piccolo insieme convesso che contiene {P₁,…,P_n}, nel senso che un qualunque insieme convesso che contiene {P₁,…,P_n} contiene anche il loro inviluppo convesso.

   Teorema. Siano P_i per i=1,…,k punti (distinti) di Aⁿ. Conv(P₁,…,P_k) si parametrizza con le equazioni

   	P=	k ∑ i=1	tiPi

   per (t₁,…,t_k) ∈ Rⁿ, t_i ¹ 0, ∑_i=1^k t_i=1.

   Attenzione. Se k ¹ n+1 la k-pla (t₁,…,t_k) non è unica.

   Dimostrazione Poniamo X:={ P ∈ Aⁿ | P=∑_i=1^k t_iP_i,  t_i ¹ 0, ∑_i=1ⁿ t_i=1}

   Dalla definizione ogni P_i ∈ X. Si verifica subito che se P, Q ∈ X anche (1-t)P+tQ ∈ X per 0 œ t œ 1 e quindi X è convesso.

   Se C è un insieme convesso che contiene P₁,…,P_k allora in particolare

   	C � {	2 ∑ i=1	tiPi|  ti ¹ 0,	2 ∑ i=1	ti=1}

   Scrivendo per t_i ¹ 0, ∑_i=1³ t_i=1 : ∑_i=1³ t_iP_i=(1-t₃)(∑_i=1² [(t_i)/(t₁+t₂)]P_i)+t₃P₃ anche questi punti stanno in C e quindi C � {∑_i=1³ t_iP_i|  t_i ¹ 0, ∑_i=1³ t_i=1}. Continuando in questo modo si ottiene C � X come volevamo.

   Consideriamo 4 punti non allineati nel piano. Il loro inviluppo convesso puó essere un triangolo oppure un quadrilatero, che diremo quadrilatero convesso.

   Esercizio.

   i)
   Dati tre punti non allineati nel piano, descrivere la regione del piano in cui ponendo un quarto punto, si ottiene che l'inviluppo convesso dei 4 punti è un triangolo.
   ii)*
   Descrivere un algoritmo che dalle coordinate di 4 punti P_i = (x_i, y_i) permette di stabilire la forma dell'inviluppo convesso (triangolo, quadrilatero, …).

   Definizione. L'inviluppo convesso di k punti nel piano si dice poligono convesso.

   L'esercizio precedente dovrebbe convincere il lettore che si possono provare senza difficoltá i seguenti fatti sull'inviluppo convesso di P₁,…,P_k :

   Alcuni dei punti P_i si possono scrivere come combinazione affine a coefficienti tutti positivi dei rimanenti. Tali punti si dicono interni. I punti non interni si dicono vertici. Allora è possibile riordinare i vertici che chiamiamo V₁,…,V_m (con m œ k) in modo che i m segmenti per V_i e V_i+1 (che chiamiamo lati, dove per convenzione V_m+1=V₁) si incontrano tra loro soltanto nei vertici ed ogni vertice è comune soltanto a due lati. Inoltre ogni retta che prolunga un lato divide il piano in due semipiani uno dei quali contiene tutti gli altri vertici. Abbiamo cosí descritto un poligono convesso con m lati.

   La retta nel piano

   La retta per P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂) ha direzione generata da =(x₂-x₁)e₁+(y₂-y₁)e₂. Chiameremo vettore direttore della retta ogni generatore della direzione , che è uno spazio vettoriale di dimensione 1. L' equazione parametrica della retta è quindi

   	P=P1+t

   al variare di t ∈ R che si traduce in coordinate come

   		⎧ ⎨ ⎩	x=x1+t(x2-x1 ) y=y1+t(y2-y1 )

   Proposizione L' equazione cartesiana della retta per P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂) è

   	det	⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	x-x1 y-y1 x2-x1 y2-y1		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠	=0

   Dimostrazione Questa condizione corrisponde alla dipendenza lineare tra (x₂-x₁)e₁+(y₂-y₁)e₂    e    (x-x₁)e₁+(y-y₁)e₂

   Quando x₂-x₁ ¹ 0 e y₂-y₁ ¹ 0 l'equazione precedente viene spesso scritta come

   		x-x1 x2-x1	=	y-y1 y2-y1

   L'equazione precedente è una equazione di primo grado della forma ax+by=c dove a=y₂-y₁, b=-(x₂-x₁) e c=x₁y₂-x₂y₁. Pertanto un vettore direttore è (-b,a) (naturalmente sempre definito a meno di costanti). Viceversa ogni equazione di primo grado ax+by=c con (a,b) ¹ (0,0) individua una retta con vettore direttore (-b,a). Questa retta passa dall'origine se e solo se c=0. (a,b) è un vettore normale alla retta.

   
   Osservazione. I coefficienti (-a,-b,c) corrispondono ai tre determinanti dei minori 2×2 (con segno) della matrice

   		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	x1 y1 1 x2 y2 1		⎞  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

   Pertanto l'equazione della retta per P₁, P₂ si puó scrivere anche come (sviluppando lungo l'ultima riga)

   		det		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	x1 y1 1 x2 y2 1 x y 1		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠	=0

   e la condizione di allineamento di tre punti P₁, P₂ e P₃ è

   		det		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠	=0

   L' equazione parametrica della retta precedente è

   		⎧ ⎨ ⎩	x=x1+t(x2-x1) y=y1+t(y2-y1)

   per t ∈ R

   Per t=0 si ottiene il punto (x₁,y₁) mentre per t=1 si ottiene il punto (x₂,y₂). Pertanto il segmento che unisce (x₁,y₁) a (x₂,y₂) è parametrizzato dalle equazioni precedenti per 0 œ t œ 1.

   Il punto medio tra P₁ e P₂ (soddisfa per definizione P₂-M=M-P₁) si ottiene per t=¹/₂ ed ha quindi coordinate M=([(x₁+x₂)/2],[(y₁+y₂)/2]). M si dice anche il baricentro di P₁ e P₂.

   Rette parallele

   Ricordiamo che due rette si dicono parallele quando hanno la stessa direzione, ovvero quando due loro vettori direttori sono proporzionali.

   In coordinate, le rette ax+by=c, a'x+b'y=c' sono parallele se

   		det		⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	a b a' b'		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠	=0

   Due rette nel piano sono parallele quando non si incontrano oppure coincidono. Infatti la matrice dei coefficienti del sistema determinato da due rette parallele

   		⎧ ⎨ ⎩	ax+by=c a'x+b'y=c'

   ha rango 1 ed il sistema non ha soluzioni se la matrice completa ha rango 2 (teorema di Rouché-Capelli) mentre ne ha infinite se la matrice completa ha rango 1.

   La relazione di parallelismo è di equivalenza.

   
   Esercizi. 

   1. Scrivere la retta per P=(2,√5) parallela alla retta ^x/₂+3y=1

   2. Scrivere la retta per l'origine passante per il punto medio del segmento che unisce (2,4) e (5,-7).

   3. Scrivere la condizione di allineamento di (x₁,y₁) e (x₂,y₂) con l'origine.

   4. Provare che 3 rette a_ix+b_iy=c_i per i=1,2,3 sono incidenti (tre rette parallele si considerano incidenti "all'infinito") se e solo se

      		det		⎛ ⎜ ⎜  ⎜  ⎜ ⎜  ⎝	a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠	= 0

   5. Scrivere l'equazione della mediana del triangolo di vertici (1,4), (2,1), (7,7) passante per (1,4)

   6. Verificare che P_i=(x_i,y_i) per i=1,…4 sono vertici di un parallelogramma se e solo se

      		⎧ ⎨ ⎩	x1+x3=x2+x4 y1+y3=y2+y4

   7. Provare che i quattro punti medi di un qualunque quadrilatero sono vertici di un parallelogramma (questo esercizio si puó provare sia per via sintetica che per via analitica).

   8. * Dare condizioni necessarie e sufficienti perché un punto P=(x,y) sia:

      a
      ) interno all'angolo convesso di vertice P₁ e lati passanti per P₂ e P₃
      b
      ) interno al triangolo di vertici P_i=(x_i,y_i) per i=1,2,3.

      vi) Calcolare il punto di incontro delle diagonali del quadrilatero che ha come coppie di vertici opposti {O, P₃} e {P₂, P₄}.

      Risposta: x=[(x3(x2y4-x4y2))/((x2y3+x3(y4-y2)-x4y3))],y=[(y3(x2y4-x4y2))/((x2y3+x3(y4-y2)-x4y3))]

      Classificazione delle isometrie del piano

      Nel piano la simmetria rispetto ad una retta si dice simmetria assiale. Se due rette r, u si incontrano in un punto Q allora la composizione tra le due simmetrie assiali è uguale alla diretta centrata in Q di un angolo pari al doppio dell'angolo tra le due rette (si veda la figura interattiva , osservando la quale la dimostrazione è evidente.).
      Un caso particolare interessante è quando le due rette sono perpendicolari. Allora la composizione delle due simmetrie assiali corrispondenti è pari alla rotazione di un angolo piatto, che a sua volta coincide con la simmetria centrale ripetto al punto di incidenza delle due rette.

      La legge di Fermat sulla riflessione e la simmetria assiale

      È ben noto che i raggi luminosi riflessi da uno specchio piano seguono la legge di riflessione secondo la quale l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione. È meno noto che questa legge è conseguenza di un principio generale di minimo, presente nei lavori di Fermat. Il problema geometrico di minimo è il seguente: data una retta nel piano e due punti P e Q nel medesimo semipiano, trovare il percorso più breve tra P e Q che passi dalla retta. Una versione più colorita del problema è la seguente: trovare il percorso più breve che un esploratore in P deve seguire per arrivare alla tenda in Q se deve passare dal fiume (rappresentato dalla retta) a riempire la borraccia. La soluzione è che da P bisogna muoversi nella direzione del simmetrico di Q, in modo tale che il primo tratto del percorso che arriva alla retta (incidenza) ha lo stesso angolo del secondo percorso (riflessione). La dimostrazione è illustrata dalla figura interattiva. Notiamo in particolare che il punto sulla retta dal quale passa il percorso minimo è quello per cui gli angoli di incidenza e di riflessione sono uguali.

      Il problema di Fagnano

      Il problema di Fagnano è un problema classico che consiste nell'inscrivere in un triangolo dato il triangolo di perimetro minimo. Si può pensare al percorso ciclico di lunghezza minima che tocca tutti e tre i lati del triangolo, ad esempio percorso da una boccia in un biliardo triangolare. Vedremo che la soluzione rispetta proprio le traiettorie della boccie del biliardo. Clicca qui per la prima figura interattiva sul problema di Fagnano.
      Clicca qui per la seconda figura interattiva sul problema di Fagnano.

      3. Orientazione. Il prodotto vettoriale e la geometria metrica dello spazio

      Orientazione

      Sia V uno spazio vettoriale su R.

      
      Definizione. Due basi in V si dicono concordi se il determinante della matrice di cambiamento di base è > 0, altrimenti si dicono discordi.

      Sia G l'insieme di tutte le basi di V. La relazione in G:

      	B ~ B' se e solo se B,B' sono concordi

      è una relazione di equivalenza che divide G in due classi di equivalenza.

      
      Definizione. Una orientazione in V è la scelta di una classe di equivalenza di basi concordi. V si dice allora orientato.

      Una base di V orientato si dice orientata (concordemente) se appartiene alla classe di equivalenza scelta.

      Il prodotto vettoriale

      Vogliamo definire il prodotto vettoriale v ∧w ∈ R³ di due vettori , v, w ∈ R³

      Sia i, j, k una base ortonormale orientata concordemente con la base standard. Dati v=v₁i+v₂j+v₃k , w = w₁i+w₂j+w₃k, definiamo

      	v∧w:=	det		⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜	i j k v1 v2 v3 w1 w2 w3		⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      Il determinante va inteso simbolicamente, sviluppando lungo la prima riga, cioé

      v∧w = i

      det

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      v2 v3 w2 w3

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      -j

      det

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      v1 v3 w1 w3

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      +k

      det

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      v1 v2 w1 w2

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      
      Lemma. ∧non dipende dalla base orientata scelta.

      Dimostrazione Sia B={ i, j, k}, B'={ i', j', k'}, B=B'P un cambiamento di base con P ∈ SO(3). Si verifica subito che le coordinate v'_i, w'_i di v e w rispetto a B' soddisfano le relazioni:

      	{v1,v2,v3}={v'1,v'2,v'3}(Pt)-1={v'1,v'2,v'3}P

      	{w1,w2,w3}={w'1,w'2,w'3}(Pt)-1={w'1,w'2,w'3}P

      e quindi

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      i j k v1 v2 v3 w1 w2 w3

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      =

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      i' j' k' v'1 v'2 v'3 w'1 w'2 w'3

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      P

      Prendendo i determinanti si ottiene la tesi.

      
      Proposizione (proprietá di ∧).  ∀v, w,z ∈ V , "a,b ∈ R , valgono le proprietá:

      i)
      v∧w = -w∧v, v∧v =0
      ii)
      (av+bz)∧w = a(v∧w)+b(z∧w)
      iii)
      w∧(av+bz)=a(w∧v)+b(w∧z)
      iv)
      i∧j = k, j∧k = i, k∧i = j

      Le proprietà i), ii), iii) esprimono che ∧ è una applicazione bilineare antisimmetrica.

      Dimostrazione Sono verifiche immediate dalla definizione.

      
      Proposizione. v∧w è ortogonale a v ed a w.

      Dimostrazione

      	v.v∧w =	det		⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜	v1 v2 v3 v1 v2 v3 w1 w2 w3		⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜	=0

      ed analogamente

      	w.v∧w = 0

      
      Proposizione. Se q è l'angolo tra v e w segue

      	|v∧w|=|v|·|w|·sinq

      Dimostrazione Possiamo supporre =ci. Allora

      	| ci∧w|2=c2| w2k-w3j |2=c2( w22+w32)

      D'altronde

      	|ci|2·|w|2·sin2q = c2|w|2(1-cos2q) = c2|w|2-c2|w|2	i,w¤2  w,w¤	=

      	=c2|w|2-c2w12=c2( w22+w32)

      come volevamo

      
      Esercizi. 

      i)
      Calcolare (i-j-k)∧(i+j+k)
      ii)
      Provare che |v∧w| corrisponde all'area del parallelogramma di lati v e w.
      iii)
      Il prodotto v·w∧u si dice il prodotto misto tra v,w,u. Provare che

      	v·w∧u=	det		⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜	v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3		⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

      Dedurre che il prodotto misto v·w∧u corrisponde al volume (orientato) del parallelepipedo di spigoli v,w,u ed è nullo se e solo se v,w,u sono dipendenti.
      iv)
      Sia pun piano con v, w base del sottospazio direzione. Provare che v∧w è un vettore normale al piano e che [(v∧w)/(|v∧w|)] è un versore normale al piano.
      v)
      Scrivere un vettore normale al piano che ha direzione Span ((2,1,4), (1,0,1)) e passante per (8,0,0). Scrivere l'equazione di tale piano.
      vi)
      Provare che se v, w sono indipendenti allora {v, w, v∧w} è una base orientata concordemente.
      vii)
      Provare che ∧ è univocamente determinato dalle tre proprietá:
      1. a) v∧w è ortogonale a v e w;
      2. b) |v∧w|=|v|·|w|·sinq dove q è l'angolo tra v e w;
      3. c) {v, w, v ∧w} è orientata concordemente.

      4. Le coniche e la loro classificazione metrica. Invarianti metrici. L'eccentricitàs.

      Definizione Siano (x,y) le coordinate del piano A². Una conica C_f è il sottoinsieme di A² in cui si annulla un polinomio di secondo grado f(x,y).
      La conica è determinata quindi dal polinomio f, spesso si tralascia questa nozione e si parla semplicemente della conica C. Viceversa la conica non determina il polinomio, ad esempio i due polinomi x²+ y² e x²+ 2y² determinano entrambi la conica formata dall'unico punto che è l'origine.
      Per le coniche costituite da infinite punti (coniche reali) si può provare che
      C_f = C_g se e solo se f=cg con c costante reale non nulla.
      La dimostrazione di questo risultato segue dalla classificazione metrica delle coniche che diamo più avanti.
      Gli esempi più importanti di coniche sono
      1. l'ellisse di semiassi a, b
         x² / a²+y²/b² -1 =0
      2. l' iperbole
         x² / a²-y²/b² -1 =0
      3. la parabola
         y-ax²=0
      Il nome di coniche viene dal fatto che queste curve sono ottenute come sezioni piane di un cono infinito (ottenuto come rotazione nello spazio di una retta intorno ad un asse passante per un suo punto), ed in questo contesto sono state studiate nell'antichità .
      Prima di studiare analiticamente le coniche, conviene richiamare alcune proprietà ricavabili facilmente per via sintetica.
      È noto dalla scuola superiore che le tre coniche precedenti sono tre luoghi geometrici, precisamente:
      1. l'ellisse di semiassi a> b è il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante (necessariamente pari a 2a). I fuochi hanno coordinate (-c,0) e (c,0) dove c² = a² - b² (dal teorema di Pitagora)
      2. l' iperbole
         x² / a²-y²/b² -1 =0
         è il luogo dei punti il cui valore assoluto della differenze delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante (necessariamente pari a 2a). I fuochi hanno coordinate (-c,0) e (c,0) dove c² = a² + b². L'iperbole consiste di due rami (ottenuti dai due segni in cui si scinde il valore assoluto). Le rette y=(b/a)x e y=-(b/a)x sono i due asintoti.
      3. la parabola
         y-ax²=0
         è il luogo dei punti equidistanti dalla retta y=(-1/4a) detta direttrice e dal fuoco (0,1/(4a) ).
      Le costruzioni sintetiche permettono di ricavare velocemente alcune proprietà focali di grande interesse.
      Proprietà focale delle tangenti ad un'ellisse Sia r la tangente ad un'ellisse in un suo punto P. Siano F₁ e F₂ i suoi fuochi. Allora i segmenti PF₁ e PF₂ formano angoli uguali con r.
      Dimostrazione L'ellisse divide il piano in tre regioni disgiunte, quella interna data da {Q: | QF₁|+|QF₂| <2a}, quella esterna data da {Q: |QF₁|+|QF₂| >2a} e l'ellisse stessa dove vale l'uguaglianza.
      Consideriamo al variare del punto Q su r la quantità |QF₁|+|QF₂| . Siccome la retta tangente è tutta esterna all'ellisse con la sola eccezione del punto di tangenza, segue che tale quantità assume il valore minimo pari a 2a per Q=P. Ma il punto che risolve questo problema di minimo è stato già trovato a proposito della legge di Fermat sulla riflessione, e corrisponde al minimo percorso da F₁ a F₂ che passa da r che è ottenuto con angoli di incidenza e di riflessione uguali tra loro, da cui segue l'enunciato.
      
      Con considerazioni simili si dimostra una proprietà focale analoga nel caso dell'iperbole. Il caso della parabola può essere visto come caso limite dell'ellisse quando uno dei due fuochi va all'infinito. Su questa proprietà si basa la costruzione degli specchi parabolici.
      
      La costruzione sintetica come sezioni di un cono permette di trovare una unità nelle tre descrizioni precedenti e di dare un significato geometrico all'eccentricità .
      
      Consideriamo un cono il cui angolo al vertice abbia semiampiezza pari a a tagliato da un piano p.
      
      Teorema di Dandelin Quando l'angolo b tra il piano e l'asse del cono è maggiore di a allora p taglia il cono lungo un' ellisse i cui fuochi sono i punti di tangenza delle due sfere S₁ e S₂ inscritte al cono e tangenti a p.
      Dimostrazione Siano F₁ e F₂ i punti di tangenza e P un punto sulla curva intersezione tra il cono e il piano p. Consideriamo la direttrice del cono passante per P, che incontra le due sfere in Q₁ e Q₂. La distanza tra Q₁ e Q₂ non dipende da P perché è la distanza tra le due circonferenze in cui le due sfere sono rispettivamente tangenti al cono. Inoltre PQ₁=PF₁ e PQ₂=PF₂ perché si tratta di segmenti tangenti ad una sfera condotti dal medesimo punto. Segue che |PF₁|+|PF₂| = |PQ₁|+|PQ₂| = |Q₁Q₂| non dipende da P e quindi il punto P varia su un'ellisse di fuochi F₁ e F₂ come volevamo.
      
      Il teorema di Dandelin ha delle varianti naturali nel caso dell'iperbole (b < a) e della parabola (b = a).
      
      Teorema (introduzione geometrica dell'eccentricità ) Nella costruzione di Dandelin sia s ₁ il piano contenente la circonferenza di tangenza della sfera S₁. Supponiamo che p non sia perpendicolare all'asse del cono, cioè che la conica non sia una circonferenza. Allora la retta r intersezione tra s ₁ e p si dice direttrice della conica e gode della proprietà per cui il rapporto d(P,F₁)/d(P,r) è costante per P punto della conica ed è pari a cos(b) / cos( a ) =: e . Questa costante e prende il nome di eccentricità della conica .
      Dimostrazione Sia P un punto sulla conica e sia Q l'intersezione della direttrice passante per P con la circonferenza di tangenza. La retta per P parallela all'asse del cono incontra s ₁ in H. Allora abbiamo
      d(P,F₁) = |PQ|=|PH|/cos(a)
      Analogamente chiamiamo con D il piede della perpendicolare condotta da H su r. Abbiamo che PD è la distanza di P da r (teorema delle tre perpendicolari) e vale
      d(P,r)=|PD|=|PH|/cos( b )
      Quindi
      d(P,F₁) /d(P,r) = cos(b)/cos(a)
      che è indipendente da P come volevamo.
      L'importanza dell'eccentricità risiede nel fatto che è minore di 1 nel caso dell'ellisse, pari a 1 nel caso della parabola e maggiore di 1 nel caso dell'iperbole. Il caso della circonferenza è degenere da questo punto di vista e corrisponde a e=0.
      Osserviamo che il teorema precedente mostra che il luogo dei punti il cui rapporto delle distanze tra un punto e una retta è costante è una conica.
      
      LemmaIn un'ellisse e=c/a cioè l'eccentricità è pari al rapporto tra la distanza tra i fuochi e l'asse maggiore.
      Dimostrazione Sia AB l'asse maggiore dell'ellisse, di lunghezza 2a. Prolungando AB si incontra la direttrice ad una distanza k dall'ellisse. La direttrice è perpendicolare all'asse maggiore per simmetria. Per l'appartenenza di B all'ellisse si ha
      a-c=ek
      Per l'appartenenza di A all'ellisse si ha
      a+c=e(2a+k)
      Eliminando k dalle due ultime equazioni si ottiene
      e=c/a
      come volevamo.
      Osservazione Notiamo che l'eccentricità di un'ellisse si può scrivere anche come il quadrato di 1-(b/a)² e quindi cresce se il rapporto tra i semiassi diminuisce. Quindi l'eccentricità è una misura dello "schiacciamento" dell'ellisse.
      Osservazione Anche nel caso dell'iperbole vale la formula e=c/a, con dimostrazione analoga alla precedente. In questo caso l'eccentricità ha un'altra interpretazione geometrica interessante:
      Proposizione Sia C una iperbole con eccentricità e. Sia h l'angolo tra gli asintoti nella parte di piano dove giacciono i rami dell'iperbole. Allora
      e=1/(cos(h/2))
      Dimostrazione Vale
      e² = c² /a² = a²+b²/a² = 1+(b/a)² =1+(tg(h/2))²
      da cui la tesi.
      Un'iperbole con asintoti perpendicolari si chiama iperbole equilatera. La sua eccentricità è pari a radice di 2.
      
      Osservazione Le tangenti a una parabola possono essere costruite geometricamente in modo semplice. Se r è la direttrice e F è il fuoco di una parabola, allora per ogni punto P della direttrice l'asse del segmento PF è tangente alla parabola nel punto Q in cui l'asse incontra la perpendicolare per P alla direttrice. Infatti Q è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, mentre ogni altro punto dell'asse è più vicino alla direttrice rispetto al fuoco.

      Matrice associata a una conica e descrizione analitica

Ad ogni conica C_f corrisponde una matrice simmetrica 3x3 che prende il nome di matrice associata alla conica. La matrice associata a
f(x,y)= a₂₂x²+ 2a₂₃xy+ a₃₃y² + 2a₁₂x+ 2a₁₃y+a₁₁
è la matrice

	A =	é ê ê ê ê ê ë	a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33		ù ú ú ú ú ú û

La sua importanza è dovuta all'identità
f(x,y) = ^tX A X
dove X=^t(1,x,y), che si può verificare svolgendo il calcolo.
Questa scrittura matriciale è particolarmente comoda per trattare il comportamento della conica attraverso una isometria (è stata creata apposta!).
Intanto notiamo che la sottomatrice A₀ della conica (ottenuta cancellando la prima riga e la prima colonna, cioè la sottomatrice 2x2 in basso a destra) è responsabile della parte quadratica di f(x,y), cioè
a₂₂x²+ 2a₂₃xy+ a₃₃y² = (x,y) A₀ ^t(x,y)
Proposizione Sia C una conica con matrice associata A e sia

g

æ ç ç ç è

x y

ö ÷ ÷ ÷ ø

= B'

æ ç ç ç è

x y

ö ÷ ÷ ÷ ø

+d

una isometria con matrice corrispondente 3x3 data da B. Allora la matrice associata a g(C) è
^t(B^-1) A B^-1
che ha minore 2x2 in basso a destra pari a
B' A₃₃ ^tB'

Dimostrazione Il punto corrispondente a X= ^t(1,x,y) appartiene alla conica se e solo se ^t X A X =0. Allora il punto immagine BX soddisfa l'equazione ^t (BX) ^t(B^-1) A B^-1(BX) =0
Corollario. Data una conica, il rango di A ed il rango di A₀ sono invarianti per isometria.

DefinizioneUna conica si dice nondegenere se la sua matrice associata A è invertibile.
Teorema (Classificazione delle coniche nondegeneri) Sia C una conica nondegenere. Allora esiste una isometria g tale che g(C) ha una delle equazioni seguenti:
1. ellisse (reale) di semiassi a, b
   x² / a²+y²/b² -1 =0
2. ellisse (immaginaria)
   x² / a²+y²/b² +1 =0
3. iperbole
   x² / a²-y²/b² -1 =0
4. parabola
   y-ax²=0
Dimostrazione
1. primo passo, eliminazione del termine xy Per il teorema spettrale esiste una matrice ortogonale O tale che O A₀ ^tO è diagonale. Se r è la rotazione attorno all'origine corrispondente allora r(C) non ha termine xy. Chiamiamo ancora con A la matrice di r(C).
2. secondo passo, traslazione Se a₂₂ è diverso da zero possiamo eseguire una traslazione che elimina il termine in x (metodo del falso quadrato, o babilonese). Infatti
   a₂₂x²+2a₁₂x= a₂₂ (x²+ 2 (a₁₂/a₂₂) x) =
   = a₂₂ ((x+(a₁₂ /a₂₂))² - (a₁₂² /a₂₂))
   Analogamente se a₃₃ è diverso da zero possiamo eseguire una traslazione che elimina il termine in y. Quindi se A₀ è nonsingolare esiste una traslazione t tale che (t · r)(C) ha una delle prime tre equazioni dell'enunciato. Posto g=t · r abbiamo dimostrato il teorema in questo caso.
   Il caso della parabola è più semplice. A meno di scambiare tra loro x e y, possiamo supporre a₂₂ diverso da zero e a₃₃=0. Allora dopo una traslazione t abbiamo la forma a₂₂ x²+ 2a₁₃y+a₁₁=0. Una seconda traslazione permette di annullare il termine costante. Questo conclude la dimostrazione.

   Invarianti

Per capire se una conica nondegenere è una ellisse, una iperbole o una parabola è sufficiente verificare il segno del determinante di A₀. Precisamente vale
1. det A₀>0 : ellisse
2. det A₀<0 : iperbole
3. det A₀ =0 : parabola
Il segno del det A₀ è invariante per isometria. Inoltre moltiplicando l'equazione della conica per una costante non nulla k il det A₀ viene moltiplicato per k² e quindi il suo segno non cambia. Osserviamo a proposito che il segno di det A non ha significato geometrico (verrebbe moltiplicato per k³ e quindi cambierebbe segno se k è negativo). La distinzione tra ellisse reale e immaginaria può essere fatta convenientemente dal segno di det(A)tr(A₀), che è negativo nel caso reale e positivo nel caso immaginario.

La classificazione delle coniche degeneri è analoga.
Teorema. Classificazione delle coniche degeneri Sia C una conica degenere. Allora esiste una isometria g tale che g(C) ha una delle equazioni seguenti:
1. rette parallele (reali), rk(A)=2, det A₀ =0
   x² - a² =0
2. rette parallele immaginarie, rk(A)=2, det A₀ =0
   x² + a² =0
3. rette incidenti (reali), rk(A)=2, det A₀ <0
   x² / a²-y²/b² =0
4. rette incidenti immaginarie, rk(A)=2, det A₀ >0
   x² / a²+y²/b² =0
5. retta doppia, rk(A)=1
   x² =0
Dimostrazione È analoga alla precedente e viene omessa.

Il centro di una conica

Sia C una conica con matrice associata A.
Teorema
Se A₀ è nondegenere allora la conica ha un centro di simmetria (x_C, y_C) che è soluzione del seguente sistema

A0

æ ç ç ç è

xC yC

ö ÷ ÷ ÷ ø

=

æ ç ç ç è

-a12 -a13

ö ÷ ÷ ÷ ø

Dimostrazione Dobbiamo provare che la simmetria centrale di centro (x_C, y_C) porta la conica in sè. Poniamo X=^t(1,x,y) e X_C = ^t(1,x_C, y_C).
Allora la simmetria porta X in 2X_C-X. Per ipotesi abbiamo AX_C=^t(*,0,0) La condizione di appartenenza alla conica è
^t (2X_C-X)A(2X_C-X)=0
. Dall'ipotesi ^tXAX=0 sfruttando la linearità equivale a
4^tX_CAX_C-4^tXAX_C=0
cioè
^t(X_C-X)AX_C=0
che è soddisfatta perché ^t(X_C-X)=(0,*,*).

La tangente a una conica nondegenere

Sia C una conica nondegenere con matrice associata A. Sia (x₀, y₀) un punto della conica.
Poniamo X=^t(1,x,y) e X₀ = ^t(1,x₀, y₀).
Proposizione La retta tangente a C nel punto (x₀, y₀) ha equazione
^tXAX ₀ =0
Dimostrazione X rappresenta un punto sulla retta tangente se e solo se la parametrizzazione (1-t)X ₀+tX al variare di t ha una sola soluzione (doppia) intersecando con la conica per t=0. Si ottiene
^t[(1-t)X ₀+tX]A[(1-t)X ₀+tX]=0
che equivale a
t²[...]+t[2^tXAX ₀]=0
da cui la tesi.
Esercizio Provare che la retta tangente nell'origine alla conica
a₂₂x²+ 2a₂₃xy+ a₃₃y² + 2a₁₂x+ 2a₁₃y=0
ha equazione
a₁₂x+ a₁₃y=0
(sviluppo di Taylor).

Invarianti metrici

Sia C un'ellisse con matrice associata A. Gli autovalori di A₀ non hanno un significato geometrico perché moltiplicando la matrice per una costante k anche gli autovalori vengono moltiplicati per la stessa costante. Il loro rapporto, oltre ad essere invariante per isometrie, ha anche un significato geometrico e può essere considerato un invariante metrico come è mostrato dalla seguente
Proposizione Il rapporto tra gli autovalori di A₀ (il minore diviso per il maggiore) è uguale al quadrato del rapporto dei semiassi.
Dimostrazione L'enunciato è ovvio per una ellisse in forma canonica. Una ellisse qualunque può essere portata in forma canonica tramite una isometria. La matrice A₀ si trasforma per similitudine tramite l'isometria e quindi conserva i suoi autovalori.

Con maggiore attenzione si calcolano separatamente i semiassi di una ellisse (altri invarianti metrici).
Proposizione Siano a, b i semiassi di un'ellisse con matrice associata A. Siano p, q i due autovalori di A₀. Allora valgono
a²=|det(A)|/(|p|det (A₀))
b²=|det(A)|/(|q|det (A₀))

Dimostrazione È analoga alla precedente.
La proposizione precedente è particolarmente importante perché due ellissi sono congruenti (esiste una isometria che porta la prima nella seconda) se e solo se hanno gli stessi semiassi.
Esercizio Dimostrare che una conica C è una circonferenza se e solo se
1. A₀=cI dove I è la matrice identità
2. c det(A)<0
Esercizio Nelle ipotesi dell'esercizio precedente calcolare il raggio della circonferenza in funzione dei coefficienti di A.
Esercizio Sia C una iperbole con matrice associata A e sia h l'angolo tra gli asintoti. Esprimere cos(h/2) in funzione dei coefficienti di A.
Suggerimento: ricavare, nel caso della forma canonica, cos(h/2) in funzione dei coefficienti a, b e quindi come espressione invariante dei coefficienti di A.

5. Le similitudini.

f: Aⁿ →Aⁿ si dice una similitudine se esiste una costante k>0 tale che per ogni coppia di punti P, Q vale d(f(P),f(Q))=kd(P,Q).
Quindi tutte le distanze vengono "dilatate" per il fattore k. La costante k si dice fattore di scala della similitudine. Il nome fattore di scala è mutuato dalle carte geografiche che descrivono infatti l'immagine di una similitudine.
Notiamo subito che una similitudine con k=1 è una isometria.
Esercizio Provare che una similitudine con due punti fissi è una isometria.
Teorema (Composizione di similitudini) Se f è una similitudine con fattore di scala k e g è una similitudine con fattore di scala h, allora la composizione gf è una similitudine con fattore di scala hk.
Dimostrazione d(gf(P), gf(Q) )=hd(f(P), f(Q))=hk d(P, Q).
Le omotetie forniscono una classe importante di similitudini.
L'omotetia f_O,k centrata in O con fattore k è definita dalla combinazione affine f_O,k(P):=kP+(1-k)0 cioè in modo più espressivo dalla formula f_O,k(P)-0=k(P-O). O è l'unico punto fisso di f_O,k. Notiamo che O, P e f_O,k(P) sono sempre allineati. Le omotetie centrate in O(punto fissato) formano un gruppo, infatti
f_O,kf_O,h=f_O,kh
f_O,k^-1=f_O,(1/k)
k può essere anche negativo. A seconda del segno di k, f_O,k(P) giace sulla semiretta OP o sulla semiretta opposta. Il significato di k è precisato dal
Lemma (Ogni omotetia è una similitudine) L'omotetia f_O,k è una similitudine con fattore di scala |k|.
Dimostrazione f_O,k(P)-f_O,k(Q)= kP+(1-k)O-kQ-(1-k)O=k(P-Q) e quindi d(f_O,k(P), f_O,k(Q) )=|k|d(P, Q)
Il seguente teorema è fondamentale e contiene in nuce il teorema di Talete.
Teorema (Immagine di una retta attraverso una omotetia) Sia f una omotetia e r una retta. Allora f(r) è una retta parallela a r.
Dimostrazione Sia P=at+C una parametrizzazione di r e sia f(P)=kP+(1-k)O. Allora f(r) è parametrizzata da k(at+C)+(1-k)O=(ka)t+(kC+(1-k)O) e quindi è ancora una retta con la stessa direzione di r.
Corollario (Ogni omotetia conserva gli angoli) Sia f una omotetia. L'angolo tra le due rette r e s coincide con l'angolo tra f(r) e f(s).
La dimostrazione è immediata ed è lasciata al lettore.
Teorema (Fattorizzazione delle similitudini) Sia f una similitudine. Allora esistono una isometria h ed una omotetia g tali che f=hg.
Dimostrazione Sia k il fattore di scala di f. Definiamo g come f_O,k (con O a piacere). allora per il teorema sulle composizione di similitudini fg^-1 ha come fattore di scala k(1/k)=1 e quindi fg^-1=h isometria, da cui la tesi.
Corollario (comportamento delle rette per similitudini) Sia f una similitudine.
1. Se r è una retta allora f(r) è una retta.
2. Se r, s sono due rette parallele allora f(r) e f(s) sono parallele.
Dimostrazione L'enunciato è vero per le isometrie e per le omotetie e quindi per le loro composizioni.
Corollario (Ogni similitudine conserva gli angoli) Sia f una similitudine. L'angolo tra le due rette r e s coincide con l'angolo tra f(r) e f(s).
Dimostrazione Come il corollario precedente.
Corollario (Rappresentazione matriciale delle similitudini) Ogni similitudine f si rappresenta nella forma f(x)=Ax+c, dove A=kA' con A' una matrice ortogonale e k è il fattore di scala. In particolare gli autovalori di A hanno modulo uguale al fattore di scala.
Due sottoinsiemi dello spazio F e F' (in particolare due poligoni nel piano) si dicono simili se esiste una similitudine f tale che f(F)=F'.
Il seguente esempio è alla base della definizione di p .
Esempio Tutte le circonferenze nel piano sono simili. Per provare questo fatto basta portare i due centri a coincidere con una traslazione e poi effettuare una omotetia.
Esempi Tutti i triangoli equilateri sono simili. Tutti i quadrati sono simili. Più in generale tutti i poligoni regolari di n lati sono simili. Per provare questi fatti è sufficiente inscrivere i poligoni in una circonferenza e ragionare come nell'esempio precedente.
Teorema di Talete Siano r₁, r₂, r₃ tre rette parallele tra loro. Siano s e s' due trasversali, nessuna delle due parallela a r_i. Poniamo s Çr_i=P_i, s' Çr_i=P'_i,
vedi figura
Allora d(P₁, P₂)/d(P₁, P₃)= d(P'₁, P'₂)/d(P'₁, P'₃)
Dimostrazione Se s e s' sono parallele allora nella figura si formano parallelogrammi ed il risultato è evidente. Se s e s' si incontrano in un punto O allora l'omotetia centrata in O che porta P₁ in P₂ porta la retta r₁ nella retta parallela a r₁ passante per P₂ che per l'unicità della parallela coincide con r₂. Sia k il fattore di scala dell'omotetia. Quindi d(O, P₂ )= k d (O, P₁ ) e d(O, P'₂)= k d(O, P'₁). Segue che d(O, P₂ )/ d(O, P'₂) = d(O, P₁ )/ d(O, P'₁). Il rapporto precedente non cambia al variare di P sulla retta s, cioè è uguale a d(O, P )/ d(O, P') se P' è il punto dove la parallela a r₁ passante per P incontra s'. Sia h il valore del rapporto precedente. In particolare d(P₁, P₂)= d( 0,P₂)-d(O, P₁)= h d( 0,P'₂)-hd(O, P'₁)= h d(P'₁, P'₂), e analogamente d(P₁, P₃)=h d(P'₁, P'₃) da cui la tesi.
Corollario (Criterio di similitudine) Se due triangoli hanno gli angoli uguali allora sono simili.
Dimostrazione Con una isometria portiamo due angoli uguali a coincidere col vertice in O. Allora i lati opposti dei due triangoli vengono ad essere paralleli. Per il teorema di Talete una omotetia centrata in O porta il primo triangolo nel secondo.
Teorema Ogni similitudine con fattore di scala diverso da 1 ha un (unico) punto fisso.
Dimostrazione. Sia f(x)=Ax+c la similitudine. 1 non può essere autovalore di A perché il modulo degli autovalori è uguale al fattore di scala. Quindi A-I è invertibile ed il sistema (A-I)x=-c ha sempre soluzione.

Esercizio Provare che ogni similitudine diretta senza punti fissi è una traslazione.
Teorema (Caso parallelo di Desargues) Se due triangoli hanno lati corrispondenti paralleli allora sono uno traslato dell'altro, oppure sono omotetici (vedi figura). In particolare sono simili.
Dimostrazione Siano ABC e A'B'C' i due triangoli corrispondenti. Se d(A, B)=d(A', B') allora ABB'A' è un parallelogramma e la traslazione che porta AB su A'B' porta il triangolo ABC a coincidere su A'B' perché anche gli angoli corrispondenti sono uguali per ipotesi. Altrimenti le rette AA' e BB' si incontrano in un punto O. Per il teorema di Talete l'omotetia centrata in O che porta A in A' porta anche B in B'. La stessa omotetia porta AC in un segmento parallelo ad AC passante per A', che per l'unicità della paralella giace su A'C'. Ancora questa omotetia porta BC in un segmento parallelo a BC passante per B'C' che per lo stesso motivo giace su B'C'. Quindi C viene portato nell'intersezione delle immagini di AC e BC che coincide con C'. Ne segue che i due triangoli sono omotetici come volevamo.
Osservazione importante sui fattori di scala. Sia f una similitudine del piano con fattore di scala k. Se F è una figura, allora area f(F)= k² area F. In dimensione n il fattore di scala dei volumi è kⁿ.
Teorema di Desargues Supponiamo che due triangoli ABC e A'B'C' siano tali che le rette AA', BB', CC' si incontrano in un punto. Allora i punti di intersezione dei lati corrispondenti (cher supponiamo non paralleli) sono allineati.
Il contesto naturale del teorema di Desargues è il piano proiettivo. Nel piano proiettivo due rette si incontrano sempre e quindi i lati corrispondenti dell'enunciato si incontrano. Nel piano affine è necessario supporre che i lati corrispondenti non siano paralleli.
Una dimostrazione interessante del teorema si ottiene sollevando le figure dal piano allo spazio.
Proposizione Tutte le parabole sono simili.
Dimostrazione Sappiamo che tutte le parabole sono isometriche a y=ax² con a opportuno. È quindi sufficiente provare che due parabole della forma y=ax² e y=bx² sono simili. La parabola di equazione y=ax² si trasforma mediante l'omotetia centrata nell'origine di fattore di scala 1/k nella parabola y=akx². Scegliendo k=b/a segue la tesi.
Proposizione Due ellissi reali sono simili se e solo se hanno la stessa eccentricità .
Dimostrazione Sappiamo che tutte le ellissi sono isometriche a y=x²/a²+ y²/ b² con a, b semiassi, a² . L'ellisse di equazione y=x²/a²+ y²/ b² si trasforma mediante l'omotetia centrata nell'origine di fattore di scala 1/k nell'ellisse di equazione y=x²/(a/k)²+ y²/ (b/k)² e quindi si conclude come nella proposizione precedente.
Proposizione Due iperboli sono simili se e solo se hanno la stessa eccentricità .
Dimostrazione È analoga alla precedente ed è lasciata al lettore.
Abbiamo visto che due iperboli hanno la stessa eccentricità se e solo se gli asintoti si incontrano con lo stesso angolo (nella parte di piano contenente l'iperbole).
Corollario (Classificazione delle coniche per similitudine) Due coniche nonsingolari sono simili se e solo se hanno la stessa eccentricità .
Esercizio Provare che due iperboli sono simili se e solo se esiste una similitudine che porta i due asintoti della prima a coincidere con i due asintoti della seconda.

6. Geometria affine del piano e dello spazio.

Definizione Una affinità è una funzione f : Aⁿ → Aⁿ tale che esistono un punto P₁e una matrice nonsingolare A per cui
f(P)=P₁+AP
per ogni punto P.
Quindi le isometrie sono particolari affinità corrispondenti al caso in cui A è ortogonale. Anche le similitudini sono particolari affinità .
È immediato verificare che le affinità formano un gruppo.
Proposizione Sia f un'affinità di equazione f(P)=P₁+AP.
1. Se r è una retta allora f(r) è ancora una retta.
2. Se S è un sottospazio affine allora f(S) è ancora un sottospazio affine. Se W è la direzione di S allora f_AW è la direzione di f(S).
3. Se S, T sono sottospazi affini paralleli allora f(S) e f(T) sono paralleli.

7. Forme quadratiche e teorema di Sylvester.

8. Classificazione affine delle coniche. Invarianti affini. Cenni sulle quadriche.

Esercizio Classificare la seguente conica al variare del parametro t

x²-2txy+y²+tx+3=0

9. Lo spazio proiettivo e le proiettività .

10. Le trasformazioni geometriche viste nel piano di Gauss . Inversione circolare. Cenni di geometria non euclidea.

La corrispondenza naturale tra A² e C che manda la coppia (x,y) nel numero complesso x+iy aiuta a comprendere le trasformazioni geometriche. L'asse delle ascisse prende il nome di asse reale e l'asse delle ordinate prende il nome di asse immaginario. La traslazione corrisponde in modo naturale alla somma di numeri complessi, cioè abbiamo che, identificando un vettore v=(v₁, v₂) con il numero complesso v=v₁+iv₂, che denotiamo con abuso di notazione ancora con v, abbiamo la
Proposizione La traslazione t_v: A² → A² ha l'espressione

t_v(z)=z+v

La moltiplicazione tra numeri complessi ha una espressione in coordinate leggermente più complicata.
Per ogni w=a+ib denotiamo con M_w la matrice

	Mw=	⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝	a -b b a		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Proposizione Il punto corrispondente a wz ha l'espressione in coordinate

	Mw	æ ç ç ç è	x y		ö ÷ ÷ ÷ ø

Dimostrazione (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+i(bx+ay)

Proposizione Valgono le seguenti proprietà per ogni numero complesso v, w, per ogni numero reale c

1. M_v+w=M_v+M_w

2. M_cw=cM_w

3. M_vw=M_vM_w

4. M₁=I

5. M_inv(w)=M_w^-1 (abbiamo indicato con inv(w) l'inverso di w)

6. M_cj(w)=^tM_w (abbiamo indicato con cj(w) il coniugato di w)

7. det(M_w)=|w|², in particolare M_w è invertibile se e solo se w è non nullo.

Dimostrazione Tutte le proprietà sono semplici verifiche . Le prime quattro seguono anche dal significato che abbiamo attribuito a w.
La prime quattro proprietà della proposizione precedente si possono riformulare affermando che la funzione da C in M(2x2,R) che porta w in M_w è un omomorfismo (iniettivo) di algebre reali. La proposizione può essere usata anche per definire il campo dei numeri complessi come sottoanello di M(2x2,R) . Le operazioni tra numeri complessi vengono ereditate dalle operazioni analoghe tra matrici. Notiamo che l'unità immaginaria corrisponde alla matrice

	Mw	æ ç ç ç è	x y		ö ÷ ÷ ÷ ø

Proposizione Sia M una matrice ortogonale con det=1. Allora esiste un numero complesso w con |w|=1 tale che M=M_w. Inoltre M_w è ortogonale se e solo se |w|=1.
Dimostrazione Per la prima parte dell'enunciato basta scegliere Re w e Im w come gli elementi della prima colonna di M. L'implicazione Þ della seconda parte segue dal punto 7. Per l'implicazione Ü consideriamo che ^tM_wM_w = (per 6) M_cj(w)M_w = (per 3) M₁=I.
Ricordiamo che i numeri complessi di modulo 1 hanno la forma w= e^{i q} = cos(q)+i sen(q)
Teorema

1. Ogni isometria diretta del piano ha la forma f(z)= e^iq z+b dove q è un numero reale e b è complesso. Viceversa ogni f siffatta è una isometria diretta.

2. Ogni isometria inversa del piano ha la forma f(z)= e ^iqcj(z)+b dove q è un numero reale e b è complesso. Viceversa ogni f siffatta è una isometria inversa.

DimostrazioneIl primo punto segue dalla proposizione precedente. Per il secondo punto consideriamo che la funzione coniugato corrisponde alla simmetria assiale rispetto all'asse reale. Se f è una qualunque isometria diretta allora f ·cj è una isometria diretta e per il primo punto esistono q e b tali che

f ·cj(z)= e^iq z+b

e quindi

f(z)=f ·cj(cj(z))= e^iq cj(z)+b


Teorema

1. Ogni similitudine diretta del piano ha la forma f(z)= az+b dove a, b sono complessi. Viceversa ogni f siffatta è una similitudine diretta.

2. Ogni similitudine inversa del piano ha la forma f(z)= a cj(z)+b dove a, b sono complessi. Viceversa ogni f siffatta è una similitudine inversa.

Dimostrazione Sappiamo che ogni similitudine f diretta (risp. inversa) con fattore di scala c è la composizione di una omotetia j con fattore di scala c centrata nell'origine e di una isometria h diretta (risp. inversa). Allora f(z)= h(cz) La tesi segue applicando la proposizione precedente a h e ponendo a=ce^iq.

^{La circonferenza di Apollonio}

^{Siano A1 e A2 due punti distinti del piano. Sia k una costante positiva. Il luogo dei punti P tali che d(P, A1 )= k d(P, A2) è una circonferenza il cui centro giace sulla retta per A1 e A2 .
Dimostrazione Consideriamo un punto P appartenente al luogo e non appartenente alla retta r per A1 e A2 . Considero la circonferenza C per P, A1 e A2 (questa non è ancora la circonferenza di Apollonio !). La tangente in P a questa circonferenza incontra la retta r in O. Quindi i triangoli A1 PO e A2 PO hanno gli angoli uguali e sono simili. La similitudine comporta la seguente proporzione tra le lunghezze dei segmenti}

^{A1 P/PA2 =OP/OA2 =A10/PO=k}

^{Segue che}

^{(A10/PO)( OP/OA2)= A10/OA2 =c2}

^{e questa relazione determina univocamente O (che giace esternamente al diametro A1A2 indipendentemente da P. Inoltre}

^{|OP|2= |OA2|.|OA2|}

^{(questa relazione segue dalla proporzione ed è nota come teorema della secante e della tangente) e quindi anche la lunghezza |OP| non dipende da P. Quindi P appartiene ad una circonferenza di centro O che è la circonferenza cercata e prende il nome di corconferenza di Apollonio.
Osservazione C e la circonferenza di Apollonio sono ortogonali perchè PO è contemporaneamente tangente a P e raggio della circonferenza di Apollonio.}

^{L'inversione circolare}

^{Fissiamo una circonferenza C nel piano di centro O e raggio R. L'inversione circolare rispetto a C e' la funzione s}_C ^{che associa a P il punto P' sulla semiretta OP tale che}

^{|OP|.|OP'|=R2}

^{sC è definita su tutto il piano con l'eccezione del punto O. Dalla definizione segue subito che sC 2=1, cioè sC ammette se stessa come inversa. Inoltre Fix(sC)=C. Quindi sC ha proprietà analoghe alle simmetrie assiali e nel prossimo paragrafo andrà pensata proprio in questa ottica. L'ultima osservazione del paragrafo precedente implica che
Proposizione Ogni circonferenza ortogonale a C viene portata in sè da sC. Questa proposizione è in sostanza una riformulazione del teorema della secante e della tangente. Esercizio Mostrare che se O è l'origine allora le equazioni di sC sono}

^{x'=xR2/( x2+y2)}

^{y'=yR2/( x2+y2)}


^{Esercizio Provare, utilizzando l'esercizio precedente che:}

1. ^{se t è una circonferenza non passante per O allora sC(t) è una circonferenza non passante per O}

2. ^{se t è una circonferenza passante per O allora sC(t) è una retta non passante per O}

3. ^{se t è una retta non passante per O allora sC(t) è una circonferenza passante per O}

4. ^{se t è una retta passante per O allora sC(t) è una retta passante per O}

   ^{Il modello di Poincarè}