Le costruzioni con riga e compasso. Giorgio Ottaviani

1. Introduzione storica (lezione dialogata)

2. I risultati principali e l'inquadramento preciso della problematica

3. Attività di costruzione (a gruppi)

4. Discussione intergruppi di alcune costruzioni significative

5. Riflessione sulla portata didattica

Le costruzioni con riga e compasso hanno un posto particolare nell'insegnamento della geometria. Per secoli al centro della didattica, poi dimenticate, infine negli ultimi anni riscoperte grazie anche all'uso di attrattivi software didattici. Ponendo un problema geometrico agli studenti, non si chiede di calcolare qualcosa, e nemmeno di dimostrare qualcos'altro, ma di costruire in passi successivi quanto richiesto. La costruzione, diversa da quanto sono abituati a fare gli studenti in un esercizio di matematica, abbraccia in realtà entrambe le caratteristiche di calcolo e di dimostrazione, come sarà chiaro più avanti.

Cerchiamo qui di mettere la riga e il compasso nella giusta prospettiva, evitando i due atteggiamenti estremi di chi li vede come una pratica superata o al più una ricreazione per l'infanzia e di chi vuole fondare su di essi l'insegnamento. In realtá questa seconda posizione ha una radice storica.

Le costruzioni con riga e compasso sono al centro della matematica greca. I primi tre postulati con cui si aprono gli Elementi di Euclide formalizzano le regole con cui si possono usare la riga ed il compasso, che erano utilizzati come uno dei principali strumenti di calcolo (analogico). Con la riga ed il compasso si eseguono le 4 operazioni fondamentali e l'estrazione di radice quadrata. Questo é sufficiente per molte applicazioni, come é testimoniato dal fatto che ancora oggi le calcolatrici tascabili piú diffuse hanno a disposizione soltanto i tasti + - * / Ö. In questo contesto i numeri sono identificati con i segmenti di lunghezza corrispondente. Addizioni e sottrazioni consistono semplicemente nel prolungare o sovrapporre diversi segmenti. Queste operazioni sono invarianti per cambiamenti di scala. Per le successive operazioni è necessario fissare una unità di misura. Moltiplicazioni e divisioni si eseguono allora con un uso ingegnoso delle similitudini. La radice quadrata si calcola con un'applicazione diretta del secondo teorema di Euclide. Alcuni calcoli possono essere fatti direttamente, come ad esempio quello della parte aurea di un segmento. Vedere le costruzioni con riga e compasso solo come un sostituto dei calcoli è naturalmente riduttivo. La costruzione è un'attività dove si esprime la visualizzazione e l'intuizione geometrica, dove i ragionamenti non sono automatici e combinano induzione e deduzione.

Per calcoli scientifici piú avanzati sono necessarie operazioni più complesse, cominciando dal calcolo di radici cubiche. Dal calcolo della radice cubica di 2 nasce il problema classico della duplicazione del cubo, che la leggenda attribuisce all'oracolo di Delfi. L'estrazione di radici cubiche era richiesta dalla tecnologia militare, per il calcolo delle gittate delle catapulte. E' impossibile calcolare radici cubiche soltanto con l'uso della riga e del compasso. Questo fatto è stato dimostrato rigorosamente solo in età moderna (con la teoria di Galois ed i contributi di Gauss), e la critica ha aperto il capitolo importante dei limiti delle costruzioni con riga e compasso (cosa non si può fare). Ci pare che l'importanza di questo atteggiamento critico non abbia però scalfito l'aspetto positivo e costruttivo delle costruzioni con riga e compasso (cosa si può fare).

I greci avevano elaborato procedimenti grafici e meccanici per calcoli più avanzati dove la riga ed il compasso non bastavano più, ma questo ci porta adesso fuori strada. E' un argomento che potrebbe essere approfondito personalmente. Ad esempio la geometria della carta piegata (origami) permette di costruire le radici cubiche.

E' giunto il momento di chiarire le regole delle costruzioni con la riga e il compasso. Il punto fondamentale è il seguente: assegnati alcuni punti nel piano questi strumenti permettono di costruirne altri. Con la riga si può tracciare la retta passante da due qualunque punti distinti assegnati. Qui è lecito criticare che i due punti devono essere abbastanza vicini, perlomeno a distanza minore della lunghezza della riga, inoltre non devono uscire dal foglio. Non basta sorridere dietro questa osservazione, che contiene il problema dell'applicabilità della matematica alla realtà. Il buon senso detta la risposta: se la riga è corta la sostituiamo con una riga più lunga, lo stesso per il foglio. Una riga ideale abbraccia due punti qualunque, il mondo reale impone delle limitazioni alle costruzioni geometriche come a tutte le altre attività umane.

Con il compasso si può tracciare la circonferenza con centro assegnato e con raggio assegnato. E' utile notare una sottile differenza con un altro postulato assai diffuso, dove si chiede un requisito apparentemente più debole: si può tracciare la circonferenza con centro assegnato e passante per un punto assegnato. Con il compasso da tavolo non si percepisce la differenza tra queste due possibilità. Se ci immedesimiamo in un agrimensore egizio per il quale il compasso è una fune legata ad un piolo piantato in terra, allora capiamo che il confronto tra funi è poco pratico ed è bene sapere operare con il secondo postulato. Non è difficile dimostrare (basta saper tracciare la parallela ad una retta per un punto dato) che i due metodi permettono di ottenere le stesse costruzioni e sono equivalenti.

I punti che possiamo costruire sono dati dalle intersezioni tra le rette e le circonferenze tracciate e possono essere assegnati per tracciare nuove righe e circonferenze. Qui si toccano con mano procedimenti iterativi che possono raggiungere notevole complessità (la costruzione di Gauss del poligono regolare di 17 lati ne è una prova). Nel software WIMS la costruzione precedente è svolta in dettaglio passo per passo. Si può avere difficoltà a formalizzare le costruzioni, esattamente come un principiante di scacchi sa giocare ma ha difficoltà a seguire le mosse codificate su un libro. Le prime versioni di Cabri funzionano esattamente a questo modo, mentre le versioni più recenti dispongono di menu dove molte costruzioni più complesse possono essere usate come macro (asse, punto medio, bisettrice...). Si rifletta comunque che fissare le regole di una costruzione è un concetto molto più elementare che predisporre un sistema di assiomi dai quali tutti gli altri teoremi devono discendere come conseguenza logica. Le costruzioni con riga e compasso hanno quindi anche un aspetto propedeutico alla comprensione dei fondamenti della geometria.

Risolvere un problema con riga e compasso significa costruire successivamente nuovi punti rispettando le regole precedenti in modo da trovare quanto richiesto. Saper dividere un segmento in n parti uguali è un esempio, che ha la costruzione del punto medio come caso particolare.

Considerazioni schematiche

Nelle attività didattiche con riga, squadra e compasso, sono dati certi oggetti geometrici ed a partire da questi se ne vogliono costruire altri, rispettando la geometria del piano. Si tratta quindi di una attività razionale, che necessita di creatività, ma anche di rigore per il rispetto delle “regole del gioco”. Si tratta di raggiungere un obiettivo, dove esistono spesso più strade per la soluzione, senza che il procedimento sia meccanico. Spesso alcuni aspetti teorici sono messi in luce in modo brillante. Senza la pretesa di sostituire costruzioni più astratte, ragionamenti deduttivi o problemi più analitici, questo tipo di costruzioni geometriche conserva senz'altro una forte valenza didattica nella scuola contemporanea.

Esempio:

costruire un parallelogramma dati 2 lati e l'angolo compreso.
un quadrilatero con i lati opposti uguali è un parallelogramma.

Nell'antichità le prime costruzioni geometriche vennero effettuate sui campi.
(geometria=misura della terra)
L'antenato del compasso è costituito da una fune con un estremo fissato ad un palo. E' paradossalmente più facile disegnare delle circonferenze che delle rette. Con il compasso si disegna una circonferenza senza  avere già la circonferenza nello strumento.
Ancora oggi molti risultati geometrici hanno una controparte in costruzioni dirette.
Esempio:
costruire la retta tangente ad un cerchio parallela ad una retta data
la retta tangente ad un cerchio è perpendicolare al raggio

Riflessione: quale approccio tra i precedenti ci avvicina di più agli obiettivi formativi e cognitivi che abbiamo?

Se nel piano sono assegnati due punti O e P, tutti gli altri punti che si possono ottenere con la riga ed il compasso a partire da questi si dicono punti costruibili. Per comprendere la portata del metodo è utile introdurre il linguaggio algebrico degli assi cartesiani. Un numero reale si dice costruibile se si ottiene dai razionali applicando successivamente le quattro operazioni e la radice quadrata. I numeri costruibili formano un campo, sottocampo proprio dei numeri costruibili per radicali, che a sua volta è sottocampo proprio dei numeri algebrici. Scegliamo come unità di misura sulla retta per O e P la distanza OP e tracciamo la perpendicolare passante per O (costruzione eseguibile con riga e compasso). Allora i punti O e P hanno coordinate rispettivamente (0,0) e (0,1).

Teorema

I punti costruibili sono esattamente i punti di coordinate (x,y) dove x, y sono numeri costruibili

.

Ad esempio (1+Ö3,3/2) è costruibile, mentre (0,p) non lo è.

Un caso particolarmente importante è quello della costruzione del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio.
Gauss dimostra che la costruzione è possibile quando n è prodotto di una potenza di 2 e di primi distinti della forma
2^m+1 dove m è anch'esso una potenza di 2 . Gli unici primi conosciuti di questa forma sono 3, 5, 17, 257, 65537.
Una tabella spiega meglio la situazione.

E' possibile costruire un poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio dato?
 

Notiamo che prima di Gauss non era mai stata data una dimostrazione di impossibilità di una certa costruzione.
Gauss risolve tutti i casi dubbi, per la maggior parte con una dimostrazione di impossibilità, ma nel caso n=17 dando una nuova cotruzione. Pare che la costruzione del poligono regolare di 17 lati sia stato per Gauss a 18 anni un successo che lo indusse a dedicarsi interamente alla matematica.

Gauss dimostra anche l'impossibilità di due dei tre problemi classici dell'antichità: la trisezione dell'angolo e la duplicazione del cubo. Per la quadratura del cerchio il ragionamento è più delicato ed occorrerà attendere ancora qualche decennio.

Attualità didattica e limiti delle costruzioni con riga e compasso

• Sviluppo di induzione, fantasia, creatività

• Attenersi alle regole del gioco significa seguire un ragionamento rigoroso senza la necessità di sviluppare un sistema ipotetico-deduttivo

• Attività che si presta al lavoro di gruppo (tutti disegnano dopo avere discusso insieme)

• Valorizzazione di alcuni studenti che sono abili nel disegno ma tradizionalmente deboli in matematica

• Il successo di una costruzione o la validità di un risultato possono essere "toccati con mano"

• Possibilità di utilizzo di mezzi informatici (Cabri,...)

• Punto di contatto della matematica con una attività manuale

• Possibilità di collegamenti storici

• Il valore formativo rimane intatto (esprit de geometrie)
   Rischio di fraintedimenti da parte degli studenti (punto medio, tangente a un cerchio,...)

• Un disegno fatto male  fa sembrare sbagliata una costruzione giusta e viceversa

• Non è un argomento "alla moda", gli esercizi possono essere presi da testi del XIX secolo (ma è un difetto?)

• L'attività non ha (quasi) più applicazioni pratiche dirette.

• Le attività proposte intervengono in diversi punti dei programmi ed a diversi livelli di difficoltà, non possono essere svolte come unità didattica a sé.

• Difficoltà a preparare una verifica con valutazione obiettiva.

Consigli pratici:

• Le costruzioni complesse vanno sviluppate su fogli grandi

• Alternare problemi facili con problemi impegnativi

• A seconda dei casi possono essere consigliati anche strumenti ausiliari (squadre a 45, a 30 e 60, perfino l'impiego della  riga graduata può avere senso, si può profittare della quadrettatura dei fogli)

• Tradizionalmente il compasso si prende in mano quando si svolge la circonferenza, questo può essere un momento per rivisitare anche argomenti precedenti.

Proposte di costruzioni

°°Costruire la perpendicolare ad una retta data passante per un punto P

Costruire la parallela ad una retta data passante per un punto P

°°Costruire la bisettrice di un angolo dato

Costruire un segmento di misura pari al prodotto di due segmenti dati

Costruire un segmento di misura pari alla radice quadrata di un segmento dato

Dati una retta e due punti situati fuori da essa, trovare sulla retta un punto ugualmente distante dai due punti dati.

°°Costruire un triangolo date le misure dei tre lati

°°Costruire un triangolo di cui si conoscano il perimetro e gli angoli

*Costruire un triangolo conoscendo le tre mediane

°°Inscrivere in un cerchio un triangolo simile ad un triangolo dato

Costruire un triangolo equivalente ad un quadrilatero dato

Costruire un triangolo equivalente ad un poligono dato

°°Costruire un triangolo di data base ed equivalente ad un triangolo dato

°°Costruire un rettangolo di data base ed equivalente ad un triangolo dato

Costruire un quadrato equivalente ad un rettangolo dato

Costruire un quadrato equivalente alla somma o alla differenza di due quadrati dati

Da un punto esterno ad una circonferenza, condurre le due tangenti

Costruire la circonferenza passante per tre punti dati non allineati

Costruire la circonferenza tangente a tre rette date

°°Costruire una circonferenza passante per due punti dati e tangente ad una retta data

Costruire un quadrato inscritto in un cerchio

Costruire un triangolo equilatero inscritto in un cerchio

Costruire un esagono regolare inscritto in un cerchio

* Costruire un pentagono regolare inscritto in un cerchio (vedi fotocopie)

Dato il lato, costruire l'esagono regolare

Dato il lato, costruire l'ottagono regolare

Dato il lato, costruire il pentagono regolare (vedi fotocopie)

Indicazioni bibliografiche

R. Courant, Robbins, Che cos'è la matematica ? , Boringhieri

F. Enriques (a cura di), Questioni riguardanti le matematiche elementari, Parte II, Zanichelli

L. Russo, La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli