Una funzione lineare che descrive una previsione elettorale

In uno stato sono costituiti tre partiti: sinistra (S), centro (C) e destra (D). I voti validi ad una elezione possono essere rappresentati con un vettore di R3
æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
D
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø

È stato promosso un referendum e gli analisti politici pensano che voteranno SI l'80% degli elettori di sinistra, il 50% degli elettori di centro ed il 30% degli elettori di destra. Pertanto il numero previsto di SI può essere stimato con la formula
SI=0,8S +0,5C+0,3D
Analogamente il numero di NO può essere stimato con la formula
NO=0,2S +0,5C+0,7D
La rappresentazione matriciale è la seguente
æ
ç
ç
ç
è
SI
NO
 ö
÷
÷
÷
ø 		= æ
ç
ç
ç
è
0,8
0,5
0,3
0,2
0,5
0,7
 ö
÷
÷
÷
ø 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
Possiamo introdurre una funzione f da R3 (che rappresenta i votanti dei tre partiti a R2 (che rappresenta la stima sull'esito del referendum) definita da
f æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		= æ
ç
ç
ç
è
0,8
0,5
0,3
0,2
0,5
0,7
 ö
÷
÷
÷
ø 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
Questa funzione è lineare, infatti
f é
ê
ê
ê
ê
ê
ë 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		+ æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S¢
C¢
N¢
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		ù
ú
ú
ú
ú
ú
û 		= æ
ç
ç
ç
è
0,8
0,5
0,3
0,2
0,5
0,7
 ö
÷
÷
÷
ø 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		+ æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S¢
C¢
N¢
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		=

= æ
ç
ç
ç
è
0,8
0,5
0,3
0,2
0,5
0,7
 ö
÷
÷
÷
ø 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		+ æ
ç
ç
ç
è
0,8
0,5
0,3
0,2
0,5
0,7
 ö
÷
÷
÷
ø 		æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S¢
C¢
N¢
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		= f æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		+f æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S¢
C¢
N¢
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ed analogamente
f é
ê
ê
ê
ê
ê
ë 		l æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		ù
ú
ú
ú
ú
ú
û 		= lf æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
S
C
N
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø

La linearità del fenomeno può essere interpretata nel modo seguente.

Chiamiamo

æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
Si
Ci
Ni
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
per i=1,¼,20 il vettore dei votanti nella regione i-esima (tra le 20 regioni). Allora l'uguaglianza
f æ
ç
ç
ç
ç
ç
è 		20
å
i=1 
 æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
Si
Ci
Ni
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 		= 20
å
i=1 
 f æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
Si
Ci
Ni
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
significa che la stima sul risultato finale può essere calcolata sommando la stima di ciascuna regione. Questo è ragionevole nella misura in cui l'argomento del referendum non ha implicazioni locali.