\documentclass[12pt]{article}   % latex 2e
\font\Bbb=msbm10
\newcommand{\ZZ}{\mbox{\Bbb Z}}
\newcommand{\QQ}{\mbox{\Bbb Q}}
\newcommand{\PP}{\mbox{\Bbb P}}
\newcommand{\RR}{\mbox{\Bbb R}}
\newcommand{\CC}{\mbox{\Bbb C}}
\newcommand{\NN}{\mbox{\Bbb N}}
\newcommand{\OO}{\mbox{${\cal O}$}}
\def\rig#1{\smash{ \mathop{\longrightarrow}
    \limits^{#1}}}


\begin{document}



\centerline{\bf Esercizi di geometria algebrica, 31.10.00} 



\bigskip
\noindent {\bf  1.} Sia $\tau\in\CC$ con $Im~\tau>0$. Definiamo
\[\theta(z):=\sum_{-\infty}^{+\infty}e^ {\pi i(n^2\tau z+2nz)}\]
per $z\in\CC$.
Provare che $\theta$ \'e una funzione olomorfa su $\CC$.
Provare che gli unici zeri di $\theta$ sono semplici e sono situati nei punti
$\frac{1+\tau}{2}+m+n\tau$ al variare di $m, n\in\ZZ$.

\bigskip
\noindent {\bf  2.} Siano $f$, $g$ due funzioni meromorfe su $X$ superficie di 
Riemann compatta.
Provare che esiste un polinomio $F(x,y)\in\CC[x,y]$ tale che
$F(f,g)=0$. Dedurre che il campo delle funzioni meromorfe ha grado di trascendenza $1$ su $\CC$.
{\it Suggerimento: sia $(f)=P_1-N_1$ e $(g)=P_2-N_2$. Sia $D=N_1+N_2$. Allora 
$f,g\in H^0(D)$ e $f^ig^j\in H^0(nD)$ se $i+j\le n$. Siccome $h^0(nD)\le 
n~deg(D)+1\ldots$}

\bigskip
\noindent {\bf  3.} Provare che se $D$ \'e un divisore di grado positivo sul
 toro $\CC/\Lambda$ allora $h^0(D)=deg D$.

\end{document}
