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    \limits^{#1}}}

\begin{document}




{\bf \sc
\begin{center}
Esercizi per il corso di Geometria Algebrica\\
18.10.2000\\
Risultati introduttivi \\
\end{center} }

\bigskip
\noindent {\bf Esercizio 1.} (Gruppi di omologia singolare)
Calcolare $H_i(A,\Z)$ nei casi
\[A=\{(x,y,z)\in\R^3 | x^2+y^2+z^2=1\}\]
\[A=\{z\in\C | 1<|z|<2\}\]
\[A=\{(x,y,z)\in\R^3 | x=(2+\cos a)\cos b, y=\sin a, z=(2+\cos a)\sin b, a\in\R, 
b\in\R\}\]

\noindent {\bf Esercizio 2.} (Azioni di gruppi)
Un gruppo $G$ agisce su una variet\'a $X$ se \'e dato
un morfismo  di gruppi da $G$ a $Aut(X)$ dove $Aut(X)$ \'e il gruppo degli 
automorfismi che , a seconda della struttura, possono essere
$C^{\infty}$, olomorfi... Se $G$ \'e un gruppo di Lie (cio\'e \'e esso stesso una 
variet\'a dove il prodotto $G\times G\to G$ e l'inversa $G\to G$ sono
$C^{\infty}$, olomorfi... ) si chiede in pi\'u che
l'applicazione naturale $G\times X\to X$ sia  $C^{\infty}$, olomorfa...
Provare che se $p\in X$ \'e un punto fisso dell'azione allora
viene indotta un'azione di $G$ sullo spazio tangente $T_pX$ che soddisfa alle 
propriet\'a
\[g\cdot(v+w)=g\cdot v+g\cdot w, \forall v,w\in T_pX\]
\[g\cdot(cv)=cg\cdot v, \forall v\in T_pX , c\in\R (c\in\C
\hbox{ nel caso olomorfo})\]
Un'azione di $G$ su uno spazio vettoriale $V$ che soddisfa  le due 
propriet\'a precedenti  si dice una rappresentazione e 
corrisponde ad un morfismo $G\to GL(V)$.

\noindent {\bf Esercizio 3.} (Integrazione di forme reali)
Sia $\gamma$ il bordo del quadrato
 $\{(x,y)\in\R^2 | 0\le x,y\le 1\} $ percorso in senso antiorario.
Calcolare l'integrale su $\gamma$ delle seguenti forme
\[dx+dy\]
\[xdx+dy\]
\[ydx+dy\]
\[ydx-dy\]
Quali delle forme sono chiuse? Quali esatte?

\noindent {\bf Esercizio 4.} (Integrazione di forme complesse)
Sia $\gamma$ la circonferenza costituita
dai numeri complessi di modulo unitario, percorsa in senso antiorario.
Calcolare l'integrale su $\gamma$ delle seguenti forme
\[dz+d\zz\]
\[zdz+d\zz\]
\[\zz dz+d\zz\]
Quali delle forme sono chiuse? Quali esatte?


\noindent {\bf Esercizio 5.} (Residui e zeri)
Calcolare per $z=1$ $ord(f)$ e $Res(f)$
nei casi $f(z)={1\over{z^3-1}}$ e  $f(z)={1\over{(z^3-1)}^4}$

\noindent {\bf Esercizio 6.} Provare che la sfera $S^2$ ha una struttura di 
variet\'a complessa isomorfa a $\PP^1=\PP^1(\C)$

\noindent {\bf Esercizio 7.} Costruire una funzione olomorfa su $\C^*$
che non pu\'o essere estesa ad una funzione olomorfa su $\C$.


\noindent {\bf Esercizio 8.}  Siano $(x_0, x_1)$ coordinate omogenee
su $\PP^1$. Provare che una funzione meromorfa su  $\PP^1$
si pu\'o sempre scrivere nella forma $p(x_0,x_1)\over{q(x_0,x_1)}$
dove $p$, $q$ sono polinomi omogenei dello stesso grado.

\noindent {\bf Esercizio 9.}  Sia $X$ una superficie di Riemann.
Provare che ogni funzione meromorfa su $X$ pu\'o essere identificata con una 
funzione olomorfa da $X$ a $\PP^1$.

\noindent {\bf Esercizio 10.} (Preludio ai fasci)
Sia $\OO(U)$ la $\C$-algebra delle funzioni olomorfe 
su un aperto $U$. Provare che se $U\subset V$ allora la restrizione
$\rho_{UV}\colon\OO(V)\to\OO(U)$ \'e un morfismo di algebre e che
$\rho_{WU}\cdot\rho_{UV}=\rho_{WV}$

\noindent {\bf Esercizio 11.} (Formula di Eulero) Provare che se $f(x_1,\ldots 
,x_n)$
\'e un polinomio omogeneo di grado $d$ allora $df=\sum_{i=1}^nx_i{{\partial f}
\over{\partial x_i}}$

\noindent {\bf Esercizio 12.} (Il birapporto) Siano $P_i$ 
per $i=1,\ldots ,4$ quattro punti distinti
di $\PP^1$ espressi in coordinate affini dai valori $t_i$.
Il valore ${(t_1-t_3)(t_2-t_4)}\over{(t_2-t_3)(t_1-t_4)}$ si dice {\it birapporto}
dei quattro punti e si indica con l'espressione $(P_1P_2P_3P_4)$.
Sia ora $Q_i$ 
per $i=1,\ldots ,4$ un'altra quaterna di punti distinti.
Provare che esiste una proiettivit\'a $f$ su $\PP^1$ tale che
$f(P_i)=Q_i$ se e solo se $(P_1P_2P_3P_4)=(Q_1Q_2Q_3Q_4)$.

\noindent {\bf Esercizio 13.}

\noindent{i)}Provare che se $(P_1P_2P_3P_4) =y$ allora riordinando i quattro punti, il 
birapporto pu\'o assumere soltanto i valori 
$\{y,{1\over{y}}, 1-y, {1\over{(1-y)}}, {(y-1)\over y}, {y\over{(y-1)}}\}$
Dedurre che esiste un sottogruppo di ordine $4$ del gruppo simmetrico $S_4$
che lascia invariato il birapporto.
Sia $j(x)={(x^2-x+1)^3\over{x^2(x-1)^2}}$

\noindent{ii)}Provare che $j(x)=j(y)$ se e solo se
$x\in\{y,{1\over{y}}, 1-y, {1\over{(1-y)}}, {(y-1)\over y}, {y\over{(y-1)}}\}$

\noindent{iii)}Date due quaterne di punti distinti  $(P_1P_2P_3P_4)$ e $(Q_1Q_2Q_3Q_4)$
provare che esiste una proiettivit\'a $f$ su $\PP^1$ tale che
$f(\{P_1,P_2,P_3,P_4\})=\{Q_1,Q_2,Q_3,Q_4\}$ se e solo se 
$j(P_1P_2P_3P_4)=j(Q_1Q_2Q_3Q_4)$.

\noindent {\bf Esercizio 14.} Provare che il birapporto tra quattro punti di 
$\C$ \'e reale se e solo se i 
quattro punti appartengono ad una circonferenza.

\noindent {\bf Esercizio 15.} (Curve piane)
Trovare i punti singolari delle seguenti curve e 
delle loro chiusure proiettive
\[y^2=x^3\]
\[y^2=x^3+1\]
\[x^2y^2+x^2+y^2=0\]

\end{document}




