Università di Firenze - Corso di laurea in Matematica

Terzo e Quarto modulo di Analisi (Analisi Matematica Due) - A.A. 2005-2006

 

  Ora

 lunedì

 martedì

 mercoledì

 giovedì

 venerdì

 8.30 – 9.30

 

 

 

 

 

 9.30 – 10.30

 

Lezione Analisi III modulo

Esercitazione Analisi III modulo

 

 

10.30 – 11.30

                 

Lezione Analisi III modulo

Esercitazione Analisi III modulo

           

Lezione Analisi III modulo

11.30 – 12.30

 

 

 

 

 

Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 3 del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: martedì 4 ottobre 2005.

Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Boringhieri.

Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima e parte seconda).

Il Terzo e il Quarto modulo di Analisi sono articolati in lezioni (tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il ciclo di lezioni del terzo modulo terminerà il 21 dicembre 2005, mentre nella settimana dal 9 al 13 gennaio 2006 si terrà una settimana di lezioni ed esercitazioni di riepilogo. Le lezioni del quarto modulo inizieranno nella settimana del 20 febbraio 2006 e termineranno il 19 maggio 2006.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2004, relativamente al terzo modulo (le date precise delle sessioni di esame vengono comunicate con congruo anticipo durante il corso di lezioni). L'esame scritto alla fine di ogni modulo consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30.

Durante il corso sono previste alcune prove scritte preliminari di verifica dell'apprendimento, due per il terzo modulo e due per il quarto. Se la votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo, che altrimenti è obbligatorio.

E’ consentito sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in alternativa a due esami distinti per i due moduli.

Periodo previsto per la prima prova scritta preliminare: intorno alla metà del mese di novembre 2005; e per la seconda prova scritta preliminare: metà dicembre 2005. (Primi) esami alla fine del terzo modulo: due appelli, uno nella seconda metà del mese di gennaio 2006 ed un secondo nella prima metà del mese di febbraio. Si potrà organizzare un preappello orale intorno alla metà del mese di gennaio, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.

Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni):

Terzo modulo:

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di funzioni. I teoremi di continuità della somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità di una serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

SPAZI METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Successioni e funzioni continue in uno spazio metrico. Spazi vettoriali. Prodotto scalare su R^n. Norma su di uno spazio vettoriale. Spazi di Banach. Esempi. Funzioni Lipschitziane. Il teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su insiemi compatti (in particolare Weierstrass e Cantor). Aperti connessi su  R^n. (Paragrafi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23)

FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Topologia su R^n. Limiti e continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso di R^n. Funzioni omogenee. Teorema di Eulero. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Funzioni a valori vettoriali. Funzioni convesse su R^n. Criteri di convessità. Complementi alle forme quadratiche. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (NON LINEARI). Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Corollari al teorema di Cauchy e teorema di regolarità. Il teorema di esistenza ed unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine (e di ordine superiore), sia in forma normale che in forma non normale. Analisi qualitativa delle soluzioni. (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49)

Quarto modulo:

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n. Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n: integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione non omogenea. Il metodo della variazione delle costanti. L’equazione differenziale lineare del primo ordine di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; il caso particolare delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; termini noti di tipo particolare. (Paragrafi 51, 52, 53, 54, 55, 56)

FUNZIONI IMPLICITE. Il teorema del Dini per le equazioni e per funzioni implicite di una variabile. Il teorema del Dini per funzioni implicite di due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi. Invertibilità locale e globale. Massimi e minimi vincolati in due o più dimensioni. Moltiplicatori di Lagrange. (Paragrafi 101, 102, 103, 104)

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64)

FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali nello spazio tridimensionale. Campi irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme differenziali esatte in R^n. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73)

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi. Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann su R^n. Proprietà. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)

SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate locali. Piano tangente. Versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici orientabili. Integrali di superficie. Il teorema della divergenza. La formula di Stokes. (Paragrafi 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100)