Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica – Quarto modulo- A.A. 2003-2004
Programma del quarto modulo del corso di Analisi (Analisi Matematica Due)
(Prof. Paolo Marcellini)
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI NON LINEARI. Risoluzione locale, o in piccolo, di una
equazione differenziale. Esempi di non esistenza di una soluzione in grande.
Esempi di non unicità. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale per
le equazioni differenziali non lineari. Conseguenze del teorema di Cauchy. Il
teorema di esistenza ed unicità globale. Metodi di risoluzione di alcuni tipi
di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine, sia in forma normale
che non in forma normale. Analisi qualitativa delle soluzioni. (Paragrafi 21,
26, 27, 28, 29, 30, 31, 32)
INTEGRALI CURVILINEI
E FORME DIFFERENZILI NEL PIANO. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Il
teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Integrale curvilineo di
una funzione. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma
differenziale. Forme differenziali esatte. Teoremi di integrazione e di
caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse.
Una forma esatta è anche chiusa. Esempi. Forme chiuse in un rettangolo. Insiemi
aperti del piano semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse in un
aperto semplicemente connesso. (Paragrafi 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41)
INTEGRALI DOPPI.
Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue. Formule
di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Formula di
Stokes. Applicazioni: dimostrazione del teorema di caratterizzazione delle forme
differenziali esatte in un aperto semplicemente connesso; formule per il
calcolo dell’area. Formula di cambiamento di variabili negli integrali
doppi (senza dimostrazione). Determinante jacobiano. Coordinate polari. Calcolo
di integrali doppi, di aree, di volumi. (Paragrafi 43, 44, 45, 46)
FUNZIONI IMPLICITE.
Definizione di funzione y = f(x) definita implicitamente da un’equazione del
tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per funzioni implicite di una variabile. La
parte che segue è facoltativa: teorema del Dini per funzioni implicite di
due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi. Teorema di invertibilità
locale. Massimi e minimi vincolati in due o più dimensioni. Moltiplicatori di
Lagrange. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59)
Si fa
riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
N.Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due,
Liguori Editore.
Firenze, 12 maggio
2004