Programma di

Propriet&agrave geometriche delle soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche

Dottorato in Matematica

Primavera 2008

 

 

  • Complementi
  • Identit&agrave integrali: teorema della divergenza, formule di Gauss-Green, identit&agrave di Pohozaev.
  • Medie sferiche e loro applicazioni: propriet&agrave della media.
  • Funzioni armoniche nel piano e funzioni olomorfe. Richiami: il principio dell’argomento ed il teorema della mappa di Riemann.
  • Prerequisiti di geometria differenziale: la funzione distanza.

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  • Il principio di massimo per equazioni ellittiche e paraboliche.
  • Operatori ellittici.
  • Il principio di massimo debole.
  • Il lemma di Hopf ed il principio di massimo forte.
  • Il principio di massimo per domini sottili.
  • Il principio di massimo per operatori parabolici.

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  • Applicazioni del principio di massimo.
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  • Teoremi di unicità per problemi al contorno per equazioni ellittiche e paraboliche.
  • Potenziale di capacità in un anello stellato.
  • Curvatura delle curve equipotenziali di un potenziale di capacità.
  • Il principio di massimo per la funzione concavità e sue applicazioni.
  • Metodo dei piani mobili e superfici parallele alla frontiera.
  • Metodo dei piani mobili: un problema sovradeterminato in teoria del potenziale.
  • Metodo dei piani mobili: simmetria delle soluzioni positive di un’equazione semilineare.
  • La propriet&agrave della media per funzioni armoniche caratterizza le sfere.
  • Funzione P di Payne e sue applicazioni.

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  • Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche.
  • Punti critici di un potenziale di capacità nel piano.
  • Punti critici di una funzione armonica nel piano.
  • Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche nel piano.
  • Punti critici delle soluzioni di equazioni (ellittiche) semilineari nel piano.
  • Esempi di funzioni armoniche e dei loro punti critici nello spazio.
  • Equazione del calore: proprietà della media nei punti invarianti.
  • Comportamento asintotico delle soluzioni dell’equazione del calore per tempi grandi e piccoli.
  • Superfici isotermiche invarianti.

    • Materiale didattico scaricabile

     
  • Dispense del corso manoscritte
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  • Materiale seminari
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  • Bibliografia del corso
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