Come previsto dal Progetto, e' stato definitivamente stabilito un metodo generale di correzione degli autovalori in problemi di Sturm-Liouville (SLP) regolari e non regolari. Per i problemi non regolari si sono presi in considerazione quelli dotati di autovalori immersi in spettri essenziali latori di singolarita' interne di tipo logaritmico. Tali problemi, di interesse rilevante nell'ambito della Magnetoidrodinamica e Meccanica Quantistica, a causa della presenza di strati limite esibiscono importanti difficolta' di integrazione anche se affrontati con metodi numerici 'robusti' e classicamente dotati di elevate prestazioni. Al riguardo sono stati presi in considerazione i Boundary Value Methods (BVMs) a schema simmetrico: il degrado dell'ordine di convergenza, precisamente provato nelle sue caratteristiche strutturali (rif.1 in 9.Pubblicazioni del responsabile), puo' dare luogo a fenomeni di saturazione numerica non facilmente ovviabili con riduzioni del passo di discretizzazione. Da qui l'importanza di tecniche di correzione con attendibili stime dell'errore. All'uopo e' stata sviluppata una teoria molto generale basata sullo shooting multiplo e la realizzazione di funzioni di recupero della continuita' nodale delle soluzioni numeriche (miss-functions) che consentono la costruzione di polinomi algebrici i cui zeri sono, appunto, i termini correttivi cercati (rif.2 in 9.Pubblicazioni del resposabile). L'elevata modularita' relativa al grado delle forme polinomiali e all'ubicazione dei punti nodali di recupero della continuita' danno luogo a procedure di correzione molto flessibili e molto efficaci in grado di neutralizzare in gran parte, ma spesso anche totalmente, i fenomeni di fading numerico. Prove numeriche dettagliate confermano la teoria.
Sono stati studiati, inoltre, due nuovi metodi per l'approssimazione numerica degli autovalori di un SLP singolare della forma
-y''+Q(x)y = lambda y, con x in (0,infinito), dove il potenziale Q(x) puo' essere decomposto nella forma Q(x)=q(x)+eps r(x) essendo r(x) della classe L^1(0,infinito) e q(x) periodico di periodo a, cioe' q(x+a)=q(x), mentre eps e' una costante di accoppiamento non necessariamente piccola. In tali condizioni la teoria standard di Floquet assicura che lo spettro essenziale ha una struttura a lacune (band gap (bg)). Nel primo metodo si approssima il problema non con la classica tecnica del troncamento dell'intervallo, bensi' si appossima r(x) con una funzione a supporto compatto sull'intervallo (0,Na) per qualche intero positivo N. Il risultato e' un SLP su un intervallo finito con una particolare condizione di lambda-dipendenza in x=Na, la cui soluzione viene affrontata con lo shooting. Il secondo metodo utilizza un risultato di Stolz e Weidmann al fine di rimuovere la lambda-dipendenza della condizione al contorno nel punto x=Na. Cio' permette al problema di essere discretizzato come un problema standard lambda-lineare e essere risolto con una opportuna procedura matriciale che individua tutti gli autovalori anziche' calcolarli uno alla volta. I due metodi proposti sono spettralmente esatti in quanto sono in grado di generare approssimazioni degli autovalori in ogni lacuna dello spettro essenziale senza generare autovalori spuri: si dimostra che anche con regolarizzazioni molto poco accurate viene generato, al massimo, un solo autovalore spurio in ogni lacuna. Un tale risultato appare alquanto sorprendente e sembra a tuttoggi non avere riscontri precedenti (rif.3 in 9.Pubblicazione dei partecipanti).
Si e' quindi affrontato lo studio del problema della stabilita' di metodi numerici per equazioni differenziali appartenenti alla classe dei BVMs. Tale studio, generalmente effettuato mediante grafici fatti con il calcolatore, e' stato condotto in modo rigoroso utilizzando essenzialmente due diversi approcci: la nozione di 'tipo di un polinomio' (rif.1) nel caso di metodi non simmetrici e il segno di opportuni polinomi trigonometrici per metodi simmetrici (rif.5),(rif.2 in 9.Pubblicazioni dei partecipanti). In un articolo di rassegna (rif.2), sono stati riportati ulteriori risultati legati a tale problematica. Inoltre sono state considerate alcune relazioni esistenti tra la matrice di Pascal, alcune classi di polinomi, quali ad esempio quelli di Legendre, ed equazioni alle differenze (rif.3). E' stata poi introdotta una nuova classe di metodi BVMs, gli OGAMs, ottenuti come generalizzazione dei metodi di tipo Adams. In particolare e' stato dimostrato che tali metodi possono essere utilizzati per risolvere problemi di tipo stiff in quanto A-stabili (rif.1 in 9.Pubblicazioni dei partecipanti). Infine sono state introdotte condizioni sufficienti che assicurano il buon condizionamento di matrici aventi una struttura a 4 bande (rif.4).

RIFERIMENTI
(1) L.Aceto, R.Pandolfi, D.Trigiante: Stability analysis of linear multistep methods via polynomial type variation; (in stampa).
(2) L.Aceto, D.Trigiante: The stability problem for linear multistep methods: old and new results; (in stampa).
(3) L.Aceto, D.Trigiante: Pascal matrix, classical polynomial and difference equations; (in stampa).
(4) L.Aceto, A.Sestini: Sufficient conditions for well-conditioning of 4-banded matrices; Rapporto Tecnico n.15/2006, Dipartimento di Matematica, Universita' degli Studi di Firenze.
(5) L.Aceto, R.Pandolfi: Theoretical analysis of the stability for Extended Trapezoidal Rules; (sottomesso).

Sono state realizzate le seguenti pubblicazioni:

L.Aceto, R.Pandolfi, D.Trigiante: Stability analysis of linear multistep methods via polynomial type variation; (in stampa).
L.Aceto, D.Trigiante: The stability problem for linear multistep methods: old and new results; (in stampa).
L.Aceto, D.Trigiante: Pascal matrix, classical polynomial and difference equations; (in stampa).
L.Aceto, A.Sestini: Sufficient conditions for well-conditioning of 4-banded matrices; Rapporto Tecnico n.15/2006, Dipartimento di Matematica, Universita' degli Studi di Firenze.
L.Aceto, R.Pandolfi: Theoretical analysis of the stability for Extended Trapezoidal Rules (sottomesso).
L. Aceto 2005 Some applications of the Pascal matrix to the study of numerical methods for differential equations; Bollettino UMI Sez. B 8 639-651.
L. Aceto, R. Pandolfi, D. Trigiante 2006 One parameter family of linear difference equations and the stability problem for the numerical solution of ODEs; Advances in Difference Equations Art. 19276 1-14.
L.Aceto, P.Ghelardoni, M.Marletta 2006 Numerical computation of eigenvalues in spectral gaps of Sturm-Liouville operators; J. Comput. Appl. Math. 189 453-470.
M.Marletta, R.Romanov 2006 Absence of the absolutely continous spectrum of a first order non selfadjoint Dirac-like system for slowly decaying perturbations; Ark. Mat. 44 132-148.
M.Marletta, R.Weikard 2005 Weak stability for an inverse Sturm-Liouville problem with finite spectral data and complex potential; Inverse Problems 21 1275-1290.
P.GHELARDONI; GHERI G.; M.MARLETTA (2006). A polynomial approach to the spectral corrections for Sturm-Liouville problems;
JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS vol. 185 pp. 360-376 ISSN: 0377-0427.
ACETO L; GHELARDONI P; GHERI G. (2006). An algebraic procedure for the spectral corrections using the miss-distance functions in regular and singular Sturm-Liouville problems;
SIAM JOURNAL ON NUMERICAL ANALYSIS vol. 44 pp. 2227-2243 ISSN: 0036-1429.
GHELARDONI P.; GHERI G.; MARLETTA M. (2004). A quasi-extrapolation procedure for error estimation of numerical methods in Sturm-Liouville eigenproblems;
JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS vol. 164-165 pp. 323-335 ISSN: 0377-0427.

Alcuni componenti dell'Unita' di Ricerca hanno partecipato ai seguenti Convegni dove hanno presentato i risultati fino allora
ottenuti, e precisamente:

L.Aceto a Rodi (Grecia) 15-21/09/05 (Congresso ICNAAM).
L.Aceto e P.Ghelardoni a Nagoya (Giappone) 21-30/05/05 (Congresso SciCADE 05).
L.Aceto a Madrid (Spagna) 21-29/08/06 (Internatinal Cogress of Mathematicians).