1. Introduzione

• Breve storia dei concetti: J. V. Grabiner,The changing concept of change: the derivative from Fermat to Weierstrass [Gra]
• Alcune idee sul modo in cui si apprende e si pensa la matematica:
  • S. Vinner, Concept definition, concept image and the notion of function, [Vin], [SF2];
  • D. Tall e S. Vinner, Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to Limits and continuity, [TaVi];
  • D. Tall, Three worlds, [TMR, pp. 1–9];
  • M. Berni, Note per un corso di Analisi zero, [Ber];
  • Education Committee of the EMS, Solid findings: It is Necessary that Teachers are Mathematically Proficient, but is it Sufficient? Solid Findings in Mathematics Education on Teacher Knowledge, [SF1].

2. Riflessione critica su alcuni argomenti di Analisi

2.1. Numeri reali.

• Un minimo di storia ([Giu1, cap 7] o appendice al cap 1 di [Giu2]).
• Tre modi di introdurli ([Wik1] o [Giu2, Capp. 1, 2]): Assiomatico (mostrare gli assiomi, riflessione sulla forma dell’assioma di completezza); Costruttivo con sezioni di Dedekind; Costruttivo con classi di equivalenza di successioni di Cauchy di razionali;
• Sviluppare in dettaglio la costruzione come estensioni decimali illimitate
  • aspetti teorici (T. Gowers, What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? [Gow1])
  • la costruzione in ogni dettaglio (M. Burchi, Numeri reali: che c’è di sbagliato nel pensarli come decimali infiniti?, Tesi di Laurea Magistrale, a.a. 2012-13 [Bur])
  • aspetti didattici (T. Leviatan, Introducing real numbers: when and how?, ICME 04 [Lev]),
• Perché é necessario introdurre i numeri reali (T. Gowers, A dialogue concerning the need for the real number system [Gow2])
• Varie forme equivalenti per l’assioma di completezza. ([Giu2, Cap. 1 §4, Cap. 2 §13])
• Razionali e rappresentazioni decimali periodiche ([CoRo, pag. 109])
• Irrazionalitá di ([Ric]) π ed e ([AiZi] Aigner, Ziegler, Proofs from the book, Springer)

2.2. Funzioni.

• Storia del concetto di funzione ( I. Kleiner, Evolution of the Function Concept: A Brief Survey [Kle2] )
• modelli associati alle funzioni elementari: modelli lineari, regressione lineare, esponenziale, crescita o decadimento, logaritmo, scale logaritmiche, semplificazione delle moltiplicazioni, regoli calcolatori, ph e decibel, scale musicali, datazione con il carbonio (Wikipedia: Logarithms [Wik2]).
• Storia del logaritmo [Edw, capitolo 6 e paragrafo 10.2];
• Una visione unificata della definizione delle funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche [Kle, p. 162 e ss.];
• Tutte le funzioni sono lineari? Education Committee of the EMS, Solid-findings: Over reliance on linearity [SF3].
• Formula asintotica per n! ([Bal, capitolo 6];
• Modelli: alcuni problemi inversi legati alla Legge di Torricelli ([Gro]);
• Un esempio tratto dal progetto KleinProject Blog: Come funziona Google [Rou, Eis].

2.3. Limite.

• uno dei concetti più difficili: descrizione del processo mentale necessario per comprendere appieno il concetto di limite e la sua definizione rigorosa (David Tall et al, Calculus and Technology
• un percorso didattico a partire dall’analisi dei misconcetti tipici (F. Magnanini, Il concetto matematico di limite: un percorso didattico a partire dall’analisi dei misconcetti tipici, Tesi di Laurea Magistrale, a.a. 2013-14 [Mag]);
• Applet che mostra visivamente usando il grafico il “gioco” degli ϵ e δ e la convergenza di una successione (MathDL: Applets and Activities for real analysis: sequence convergence; continuity http://mathdl.maa.org/mathDL/47/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3320) Applet che costruisce tabelle numeriche di funzioni ( Visual Calculus)
• Applet per passare dalla definizione intuitiva di limite a quella rigorosa (preparata in Geogebra da F. Magnanini durante la tesi di laurea magistrale) http://web.math.unifi.it/users/bianchi/didattica_del_calcolo/applets_magnanini/index.html

2.4. Derivata.

• aspetti principali: pendenza della retta tangente al grafico (chiarire il concetto di retta tangente) e rapidità di variazione istantanea;
• intuizione del concetto di derivata: definizione di derivata alla “David Tall” (facendo zoom successivi del grafico di f in (c,f(c)), il grafico sembra “sempre di più” una retta: la derivata di f in c è la pendenza della retta);
• una possibile definizione di derivata che non usa il concetto di limite (J. Marsden, A. Weinstein, Calculus unlimited [MaWe, pagg.ix–xii e cap. 2]);
• Si puo’ definire la “crescenza in un punto”? E che relazione c’e’ con la crescenza in un intervallo (J. Marsden, A. Weinstein, Calculus unlimited [MaWe, cap. 5, pp. 62-69])
• attenzione a chiarire bene il passaggio dal concetto di derivata in un punto a quello di derivata come funzione;
• una funzione continua ma non derivabile in alcun punto ([Puc, sez. 3.4]); L’esempio rivisto attraverso le definizioni di continuita’ e derivabilita’ di Tall
• Applets: Derivative plotter (MathDl, stesso nome); Applets su problemi di massimo e minimo (http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Derivate_Max_Min) etc

2.5. Integrale.

• Definizione di integrale alla Riemann e alla Darboux ed equivalenza tra le due definizioni. E’ possibile semplificare la definizione restringendo la classe delle partizioni, ma non troppo per evitare il rischio di ottenere un integrale diverso (ad esempio se si prendono solo partizioni equispaziate e si valuta la funzione sempre negli estremi destri). (Wikipedia: Riemann integral [Wik3]; Wikipedia: Darboux integral[Wik4]);
• Esempi: la funzione di Dirichlet (funzione caratteristica dei razionali in [0,1]) non è integrabile secondo Riemann ([Wik3]); la funzione su [0,1] definita come f(x) = 1∕n se x = m∕n (con m e n coprimi) e 0 altrove è discontinua esattamente nei razionali ed è integrabile ([Ric, p.36]);
• Una funzione limitata è integrabile secondo Riemann se e solo se l’insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla ([Tre, pp. 171–177]);
• presentare agli studenti metodi di integrazione approssimata (punti medi, trapezio, Simpson) e almeno un risultato di stime degli errori. Non concentrarsi troppo sull’ampliare la classe di funzioni di cui si riesce a scrivere esplicitamente la primitiva. Quest’ultimo è solo un aspetto dell’integrazione e non deve assumere una importanza sproporzionata. Si deve far capire agli studenti che l’integrale non è un concetto difficile;
• Teorema fondamentale del calcolo e sua trasposizione ”applicata” : la variazione totale tra t = a e t = b di una grandezza è uguale all’integrale tra a e b della velocità istantanea di variazione di quella grandezza. Una dimostrazione efficace del teorema.
• Una proposta didattica: come insegnare gli integrali [Bra].
• il problema della clessidra [Ric2]
• Applets: Somme di Riemann; Integrals Sketch (http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html); Accumulated Change and Antiderivative Plotter (MathDl, stesso nome);

Riferimenti bibliografici